Базовый курс по планиметрии (7-11кл.).

На занятиях рассматриваются теоремы/задачи школьного уровня(профиль ЕГЭ), которые вызывают вопросы/затруднения у учеников. Предлагаются также более сложные задачи(авторские коллег, с экзаменов в МГУ/ДВИ, с олимпиад), не приведенные на данном листе.

1. Дайте определение параллельных прямых. Сформулируйте аксиому параллельных.


2. Сформулируйте свойства и признаки параллельных прямых.


3. Докажите, что если две прямые параллельны одной и той же прямой, то они параллельны между собой.


4. Докажите, что две прямые, перпендикулярные одной и той же прямой – параллельны.
   


5. Сформулируйте признаки равенства треугольников.
   


6. Важная теорема: Соответствующие элементы равных треугольников равны. Докажите.
   


7. Докажите, что сумма углов треугольника равна 180^◦
   


8. Докажите, что в любом треугольнике каждая сторона меньше суммы двух других сторон.
   


9. Сформулируйте основные свойства равнобедренного треугольника.
   


10. Докажите, что если два угла треугольника равны, то он равнобедренный.
    


11. Сформулируйте признаки подобия треугольников.
    


12. Важная теорема: Соответствующие элементы (линейные) подобных треугольников пропорциональны с коэффициентом подобия. Докажите.
    


13. Доказать:
    Периметры подобных треугольников относятся как коэффициент подобия.
    Площади подобных треугольников относятся как квадрат коэффициента подобия.
    


14. Доказать:
    Медианы треугольника пересекаются в одной точке (центре тяжести треугольника) и делятся этой точкой в отношении 2 : 1, считая от вершины.
    Медиана делит треугольник на два равновеликих треугольника. Три медианы делят треугольник на шесть равновеликих треугольников.
    


15. Доказать:
    
    


16. Доказать, что среди точек плоскости треугольника (со сторонами a,b,c) центроид является единственной точкой, для которой сумма квадратов расстояний до вершин треугольника минимальна и равна
    
    
    

Доказать:
17. все высоты треугольника пересекаются в одной точке - ортоцентре треугольника.


18. если BB₁ и CC₁ - высоты треугольника ABC, то треугольник AB₁C₁ подобен треугольнику ABC, причём коэффициент подобия равен |cos ∠А|.
    
    


19. ортоцентр делит высоты в отношении:
    
    
    


20. расстояние между основаниями высот равно:
    
    
    


21. 
    
    
    
    


22. высоты треугольника ABC являются биссектрисами треугольника A₁B₁C₁


23. если Н - точка пересечения высот треугольника ABC, а О - центр его описанной окружности, то отрезок АН вдвое больше расстояния от точки О до стороны BC.


24. расстояние от ортоцентра треугольника до его вершины равно:
    
    
    


25. 
    
    
    


26. точки О, Н и точка М пересечения медиан треугольника ABC лежат на одной прямой (прямая Эйлера), причём точка М лежит на отрезке ОН и ОМ : МН = 1:2.
    
    


27. если BB₁ и CC₁ - высоты треугольника ABC, а О - центр описанной окружности, то ОА ⊥ B₁C₁


28. точки, симметричные точке пересечения высот (ортоцентру) треугольника ABC относительно прямых AB, BC, AC лежат на описанной окружности треугольника ABC.


29. точки, симметричные точке пересечения высот треугольника ABC относительно середин его сторон, лежат на описанной окружности треугольника ABC.


30. если AA₁, BB₁, CC₁ - высоты остроугольного треугольника ABC, то биссектрисы треугольника A₁B₁C₁ (ортотреугольника треугольника ABC) лежат на этих высотах AA₁, BB₁, CC₁;
    если же треугольник ABC тупоугольный, то на этих прямых лежат биссектрисы двух внешних и третьего внутреннего углов треугольника A₁B₁C₁.


31. доказать:
    
    


32. Доказать:
    Все биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке - центре вписанной в треугольник окружности.
    Биссектриса делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника.
    Биссектриса внешнего угла неравнобедренного треугольника пересекает продолжение противолежащей стороны в точке, отстоящей от концов этой стороны на расстояния, пропорциональные длинам двух других сторон:
    
    
    
    
33. доказать:
    
    


34. Докажите, что если медиана треугольника является высотой, то он равнобедренный.
    


35. Докажите, что если биссектриса треугольника является высотой, то он равнобедренный.
    


36. Докажите, что если медиана треугольника является его биссектрисой, то он равнобедренный.
    


37. Теорема Штейнера-Лемуса : Если в треугольнике две биссектрисы равны, то треугольник равнобедренный.


38. Докажите, что средняя линия треугольника параллельна третьей стороне и равна ее половине.
    


39. Докажите, что
    a) медиана, проведенная к гипотенузе прямоугольного треугольника, равна половине гипотенузы.
    b) только в прямоугольном треугольнике центр описанной окружности лежит на стороне треугольника (совпадает с серединой гипотенузы).
    c) если квадрат одной из сторон треугольника равен сумме квадратов двух других сторон, то такой треугольник прямоугольный.
    d) если медиана треугольника равна половине соответствующей ей стороны, то треугольник прямоугольный
    


40. Докажите,
    a) что геометрическое место точек, равноудаленных от концов отрезка, есть серединный перпендикуляр к отрезку.
    b) все серединные перпендикуляры сторон треугольника пересекаются в одной точке - центре описанной около треугольника окружности.
    c) около каждого треугольника можно описать окружность и притом только одну.
    d) точка пересечения серединных перпендикуляров треугольника является точкой пересечения высот треугольника, образованного средними линиями данного треугольника.
    


41. Докажите, что для отрезка [A;B] геометрическое место точек X , таких, что |AX|²-|BX|² постоянно, есть перпендикуляр к отрезку.
    


42. Докажите теорему Фалеса, обобщенную теорему Фалеса.
    


43. Сформулируйте теорему о сумме углов треугольника и следствие из нее.
    


44. Докажите, что сумма внутренних углов выпуклого n-угольника равна 180^◦(n-2).
    


45. Докажите, что сумма внешних углов n-угольника равна 360^◦.
    


46. Докажите, что углы со взаимно перпендикулярными сторонами равны, если они оба острые или оба тупые.
    


47. Докажите, что
    a) если биссектрисы углов В и С треугольника АВС пересекаются в точке O, то ∠ВOС=90^◦+∠А/2.
    b) если биссектрисы внешних углов при вершинах В и С треугольника АВС пересекаются в точке O, то ∠ВOС=90^◦-∠А/2.
    
    


48. Докажите, что угол между биссектрисами смежных углов равен 90^◦ .
    


49. Сформулируйте прямую и обратную теоремы Пифагора.
    


50. Докажите утверждение: AB⊥CD⇔AC²+DB²=AD²+CB² .
    


51. Докажите, что высота прямоугольного треугольника, опущенная на гипотенузу, есть среднее геометрическое проекций катетов на гипотенузу, а каждый катет есть среднее геометрическое гипотенузы и своей проекции на гипотенузу.
    


52. Докажите:
    a) в каждый треугольник можно вписать окружность и притом только одну.
    b) центр вписанной окружности - точка пересечения биссектрис.
    c) около каждого треугольника можно описать окружность и притом только одну.
    d) центр описанной около треугольника окружности - точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.
    


53. Сформулируйте свойство множества вершин прямоугольных треугольников с данной гипотенузой.
    


54. Сформулируйте свойство множества точек, из которых данный отрезок виден под данным углом.
    


55. Докажите, что отрезок общей внешней касательной к двум касающимся окружностям радиусов R и r равен отрезку общей внутренней касательной, заключенному между общими внешними. Оба эти отрезка равны 2√Rr .
    


56. Докажите следствие из теоремы косинусов: сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов всех его сторон.
    


57. Докажите, что если m - медиана треугольника, проведенная к стороне c, то m=√(2a²+2b²-c² )/2 , где a и b - остальные стороны треугольника.
    


58. Докажите теоремы синусов, косинусов:
    
    
    
    
    


59. Докажите формулы для площади треугольника:
    
    
    


60. Вывести формулу площади треугольника по трём медианам:
    
    
    
    


61. Вывести формулу площади треугольника по трём высотам:
    
    
    


62. Выведите формулы для высоты, площади, радиусов вписанной и описанной окружностей равностороннего треугольника со стороной a .
    


63. Докажите, что площадь четырехугольника равна половине произведения его диагоналей на синус угла между ними.
    


64. Докажите, что середины сторон любого четырёхугольника являются вершинами параллелограмма, причём площадь параллелограмма вдвое меньше площади четырёхугольника.


65. Докажите, что середины двух противоположных сторон любого четырёхугольника и середины его диагоналей либо являются вершинами параллелограмма, либо лежат на одной прямой.


66. Докажите, что диагонали четырёхугольника перпендикулярны тогда и только тогда, когда суммы квадратов противоположных сторон равны.


67. Докажите, что если диагонали АС и BD четырёхугольника ABCD, вписанного в окружность радиуса R с центром О, пересекаются в точке Р и перпендикулярны, то:
    a) расстояние от точки О до стороны АВ вдвое меньше стороны СD;
    b) медиана РМ треугольника APD перпендикулярна стороне ВС;
    c) площадь четырёхугольника ABCD равна
    
    
    
    d)
    
    
    
    


68. Докажите, что отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.
    


69. Докажите, что если в многоугольник можно вписать окружность, то его площадь равна произведению полупериметра многоугольника на радиус этой окружности.
    


70. Докажите, что если P и Q - точки на сторонах AB и AC (или на их продолжениях) треугольника ABC , то
    
    
    
    


71. Докажите теорему Менелая:
    
    
    
    


72. Докажите теорему Чевы:
    
    
    
    


73. Докажите теорему Стюарта:
    
    
    
    


74. Признаки параллелограмма:
    a) если в четырехугольнике две противоположные стороны равны и параллельны, то это параллелограмм.
    b) если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны, то это параллелограмм.
    c) если в четырехугольнике диагонали, пересекаясь, делятся пополам, то это параллелограмм
    


75. Докажите, что:
    a) высоты параллелограмма обратно пропорциональны соответственным сторонам параллелограмма.
    b) высоты параллелограмма, опущенные из одной вершины, образуют угол, равный углу параллелограмма при соседней вершине.
    c) середина любого отрезка с концами на противоположных сторонах параллелограмма лежит на прямой, проходящей через середины двух других сторон.
    


76. Докажите, что сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его четырех сторон (или удвоеной сумме квадратов смежных сторон).
    


77. Признаки ромба:
    a) если стороны четырехугольника равны, то это ромб.
    b) если в параллелограмме диагонали взаимно перпендикулярны, то это ромб.
    c) если диагональ параллелограмма лежит на биссектрисе его угла, то это ромб.
    
    


78. Докажите свойства ромба:
    a) диагонали ромба взаимно перпендикулярны.
    b) диагонали ромба лежат на биссектрисах его углов.
    c) высоты ромба равны.
    d) в ромб можно вписать окружность.
    e) ромб обладает всеми свойствами параллелограмма.
    


79. Доказать, что отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, равен полуразности оснований.


80. Доказать, что если сумма углов при одном из оснований трапеции равна 90°, то отрезок, соединяющий середины оснований трапеции, равен их полуразности.
    


81. докажите, что если в трапецию можно вписать окружность, то
    a) радиус окружности есть среднее геометрическое отрезков, на которые точка касания делит боковую сторону.
    b) боковая сторона трапеции видна из центра окружности под прямым углом.
    


82. Доказать свойства равнобокой трапеции:
    a) диагонали равнобокой трапеции равны (d1= d2).
    b) углы при одном основании равнобокой трапеции равны.
    c) проекция боковой стороны равнобедренной трапеции на основание равна полуразности оснований, а проекция диагонали - полусумме оснований.
    d) только около равнобокой трапеции можно описать окружность; она совпадает с окружностью, описанной около любого треугольника с вершинами в вершинах трапеции. Ее центр лежит на серединном перпендикуляре к основаниям трапеции.
    e) если центр описанной окружности лежит на основании трапеции, то ее диагональ перпендикулярна боковой стороне.
    f) в равнобедренную трапецию можно вписать окружность, если боковая сторона равна средней линии трапеции.
    g) если окружность вписана в равнобокую трапецию, то боковая сторона трапеции равна её средней линии.
    


83. Полезное построение:
    
    


84. В трапецию можно вписать окружность тогда и только тогда, когда сумма оснований равна сумме боковых сторон.
    
    


85. Важная теорема "О четырех точках трапеции" :
    Середины оснований, точка пересечения диагоналей и точка пересечения продолжений боковых сторон трапеции лежат на одной прямой.
    
    
    
    


86. Отрезок прямой, параллельной основаниям трапеции, заключённый внутри трапеции, разбивается её диагоналями на три части. Тогда отрезки, прилегающие к боковым сторонам, равны.


87. Если через точку пересечения диагоналей трапеции с основаниями а и Ь проведена прямая, параллельная основаниям, то отрезок этой прямой, заключённый между боковыми сторонами трапеции, равен среднему гармоническому ее оснований:
    
    


88. Если через середины боковых сторон трапеции с основаниями а и Ь проведен отрезок, то он равен среднему арифметическому ее оснований(средняя линия):
    
    


89. Если трапеция разделена прямой, параллельной её основаниям а и Ь на две подобные трапеции, то отрезок этой прямой, заключённый между боковыми сторонами, равен среднему геометрическому ее оснований:
    
    


90. Если трапеция разделена прямой, параллельной её основаниям а и Ь на две равновеликие трапеции, то отрезок этой прямой равен среднему квадратичному ее основаниям:
    
    
    
    
91. в чертеже проведите в трапеции указанные выше параллельные прямые, получите геометрическую иллюстрацию соотношения между средними квадратичным, арифметическим, геометрическим и гармоническим:
    
    
    



92. Докажите соотношения:
    
    

Доказать :
93. диаметр, перпендикулярный хорде, делит эту хорду и стягивамые ею дуги пополам.


94. если диаметр делит хорду, не являющуюся диаметром, пополам, то он ей перпендикулярен.


95. равные хорды удалены от центра окружности на равные расстояния.


96. хорды окружности, удалённые от центра на равные расстояния, равны.


97. дуги окружности, заключённые между параллельными хордами, равны.


98. линия центров двух пересекающихся окружностей перпендина их общей хорде и делит её пополам.


99. линия центров двух касающихся окружностей проходит через точку касания.


100. если две хорды АВ и CD имеют общую точку М, то АМ*МВ=СМ*МD.


101. для данной точки М внутри окружности произведение отрезков хорды, на которые делит ее данная точка, есть величина постоянная и равная: (R + OM)(R - ОМ)


102. центры всех окружностей, проходящих через две данные точки, лежат на серединном перпендикуляре к отрезку с концами в данных точках.


103. прямая касается окружности тогда и только тогда, когда диаметр, проходящий через общую точку прямой и окружности, перпендикулярен этой прямой.


104. если окружность касается сторон данного угла, то: центр окружности лежит на биссектрисе угла, отрезки касательных равны между собой.
     


105. приведите формулы длины окружности и площади круга радиуса R.


106. докажите теорему о радиусе вневписанной окружности треугольника.


107. выведите формулы для радиусов вневписанных окружностей прямоугольного треугольника.


108. выведите формулу для величины вписанного угла.


109. выведите формулу для угла между хордами.


110. выведите формулу для угла между касательной и хордой.


111. выведите формулу для угла между двумя секущими, проведенными к одной окружности.


112. по заданным радиусам r,R окружностей, касающихся внешним образом, найдите отрезки AB, AK, BK, O₁C, O₂C:
     
     


113. если из точки вне окружности к ней проведены касательная и секущая, то квадрат длины отрезка касательной равен произведению всего отрезка секущей на его внешнюю часть.
     


114. произведения длин отрезков секущих, проведенных из одной точки, равны.


115. без доказательства - общие хорды (или их продолжения) трёх попарно пересекающихся окружностей проходят через одну точку либо параллельны.
     
     


116. Две окружности касаются внутренним образом в точке М. Если АВ - хорда большей окружности, касающаяся меньшей окружности в точке Т, то МT-биссектриса угла АМВ.



117. Если вписанная окружность касается сторон АВ и АС треугольника АBС в точках М и N, а Р - точка пересечения прямой MN с биссектрисой угла В, то ∠BPC=90^◦.
     
     


118. Окружность Аполлония. Геометрическое место точек, расстояния от каждой из которых до двух данных точек относятся как m : n ( m,n не равны между собой), есть окружность.


119. докажите соотношения:
     
     


120. докажите соотношения:
     
     


121. докажите соотношения:
     
     


122. если М - точка касания со стороной АС окружности, вписанной в треугольник ABC, то АМ = р - BC, где р-полупериметр треугольника.


123. радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник с катетами а,b и гипотенузой c, равен (а+Ь-с)/2 или p-c


124. если окружность касается стороны BC треугольника ABC и продолжений сторон AB и AC, то расстояние от вершины А до точки касания окружности с прямой AB равно полупериметру треугольника ABC.


125. если прямые, проходящие через точку А, касаются окружности S в точках B и C, то центр вписанной окружности треугольника ABC лежит на окружности S.


126. если окружность, вписанная в треугольник ABC, касается сторон AB, BC и AC соответственно в точках К, L и М, то ∠KLM=90^◦-∠A/2
     


127. Теорема о трилистнике. Если прямая, проходящая через точку А и центр О вписанной окружности треугольника АВС, вторично пересекает описанную окружность этого треугольника в точке М, то МB=MO=MC.
     
     


128. Формула Эйлера. Если О₁, О₂ — центры вписанной и описанной окружностей треугольника АВС, а r и R — радиусы этих окружностей, то О₁О₂ = √R²-2Rr


129. Докажите, что центры вневписанных окружностей лежат в точках пересечения биссектрисы внутреннего и двух биссектрис внешних углов треугольника.
     


130. Сформулируйте необходимые и достаточные условия для того, чтобы в четырехугольник можно было вписать окружность, описать возле него окружность.
     


131. Докажите для вписанного четырехугольника (вторая строчка - теорема Птолемея, третья - формула Брахмагупты):
     
     


132. докажите формулу:
     
     


133. докажите формулу:
     
     

(продолжение следует)

Вводные задачи (7-8 кл.):

1. В каждой вершине каркаса куба, сделанного из проволоки, сидит муравей. Муравьи собрались в одной точке на некотором ребре. Каждый из них дополз до этой точки по ребрам, используя наименьший из возможных путей. Сумма расстояний, которые проползли все муравьи, равна 240 см. Найдите длину ребра куба.
   
   
2. Начертите четыре прямые так, чтобы они пересекались ровно в пяти точках.
   
   
3. Начертите пятиугольник, никакие две диагонали которого не пересекаются.
   
   
4. Начертите пятиконечную звезду. Может ли прямая, не проходящая ни через одну её вершину, пересечь все пять её звеньев?
   
   
5. Начертите шестиугольник, который не виден полностью ни из одной своей внутренней точки.
   
   
6. Вдоль шоссе стоит
   а) два
   б) три
   в) четыре дома.
   Где надо построить автобусную остановку, чтобы сумма расстояний до неё от всех домов была минимальной?
   
   
7. На шоссе стоит две деревни: в одной 15 школьников, а в другой 43. Где на этом шоссе строить школу, чтобы суммарный путь ребят в школу был наименьшим?
   
   
8. Могут ли семь прямых пересекаться ровно в девяти точках?
   
   
9. Отметьте на плоскости семь точек и проведите шесть прямых так, чтобы на каждой прямой лежало ровно три отмеченных точки.
   
   
10. Четыре точки — A, B, C и D — лежат на прямой в указанном порядке. Известно, что BC = 1, а сумма длин всех отрезков с концами в этих точках равна 1543. Найдите AD.
    
    
11. Через любую точку на прямой можно провести единственный перпендикуляр к ней.
    
    
12. Какой угол между часовой и минутной стрелкой в 16.00? в 11.30? в 23.40? в 06.10?
    
    
13. У Вари есть шаблон угла в 70^◦ и линейка (шаблон угла –- это пластмассовый или металлический треугольник, один из углов которого равен указанному числу градусов. Шаблон позволяет обвести карандашом нужный угол и тем самым начертить его). Варя хочет начертить угол в 40^◦. Как ей сделать это?
    
    
14. А Кирилл потерял линейку, но зато у него есть шаблон угла в 19^◦. Кирилл хочет начертить угол в 1^◦ . Как ему справиться с этой задачей?
    
    
15. Через точку провели семь прямых. Докажите, что угол между какими-то двумя прямыми меньше 26^◦.
    
    
16. В геометрической модели Клейна (Felix Christian Klein, 1849 – 1925, немецкий математик) плоскость состоит из точек внутри некоторой окружности, а прямыми считаются хорды — отрезки с концами на этой окружности (сама окружность в плоскость не входит). На нескольких рисунках изобразите пересекающиеся прямые, параллельные прямые, отрезок, луч, угол. Проверьте, что аксиомы прямой в этой геометрии выполняются. Как вы думаете, выполняются ли аксиомы отрезков? А аксиомы углов?
    
    


17. В чистом поле находится суперсекретный военный объект. Часовой стоит неподвижно, смотрит в одну сторону и видит вдаль на 100 метров. Расставьте в поле нескольких часовых так, чтобы ни к объекту, ни к часовым нельзя было незаметно подобраться. (Объект и часовых считайте точками. На рисунке отметьте объект и часовых и начертите «линии взгляда» для каждого часового.)
    
    
18. Сколько диагоналей у n-угольника?
    
    
19. Диагонали AC и BD выпуклого четырёхугольника ABCD пересекаются в точке O, являющейся серединой каждого из них. Докажите, что противоположные стороны и углы этого четырёхугольника равны.
    
    
20. Докажите, что пересечение любых двух выпуклых фигур снова будет выпуклой фигурой.
    
    
21. Докажите, что из любой точки вне прямой можно провести к ней единственный перпендикуляр.
    
    
22. Принимая без доказательства, что сумма углов у всех треугольников одинаковая, найдите, чему она равна.
    
    
23. Внешний угол треугольника больше любого не смежного с ним угла этого треугольника.
    
    
24. Биссектриса AL делит треугольник ABC на два. Докажите, что в каждом из них ∠A не наибольший.
    
    
25. Четырёхугольник, у которого диагональ является биссектрисой обоих его углов, вершины которых соединяет, называется дельтоидом. Докажите, что
    a) диагонали дельтоида перпендикулярны, причём одна из них делится другой диагональю (её продолжением) пополам.
    b) AB = AD, BC = DC и ∠B = ∠C.
    
    
26. В четырёхугольнике ABCD AB = AD и BC = DC. Докажите, что это дельтоид.
    
    
27. Пусть ABCD - дельтоид (у которого AB = AD и BC = CD). Продолжения сторон AB и CD пересекаются в точке M , а продолжения сторон AD и BC пересекаются в точке N.
    Докажите, что AM = AN .
    
    
28. Докажите, что если в треугольнике ABC ∠A = ∠C, то AB = BC.
    
    
29. Докажите, что если у треугольника биссектриса является медианой, то он равнобедренный.
    
    
30. Докажите, что если две высоты треугольника равны, то он равнобедренный.
    
    
31. Докажите признак равенства треугольников по двум сторонам и медиане к третьей стороне.
    
    
32. Приведите пример двух неравных треугольников, у которых, соответственно, равны две стороны и угол.
    
    
33. В выпуклом четырёхугольнике ABCD AB = CD и BC = AD. Докажите, что это параллелограмм.
    
    
34. В треугольнике ABC на стороне BC отмечена точка T. Известно, что AQ = QC, AP = PB, а также OA = OB = OC (см. рис). Докажите, что ∠OCQ = ∠OBP .
    
    
    
    
    
35. В треугольнике ABC, у которого ∠A + ∠B = ∠C, проведена медиана CM . Докажите, что CM = AB/2.
    
    
36. На продолжении биссектрисы BL треугольника ABC отмечена точка M так, что BM = AB. Докажите, что если BL = BC, то CM = AL.
    
    
    
    
37. В треугольнике ABC, у которого BC = 6, провели медиану BM и биссектрису CL. Оказалось, что они пересеклись под прямым углом. Найдите AC.
    
    
38. Докажите, что AK = BC :
    
    
    
    
    
39. На рисунке AC = CB = BK. Докажите, что периметры BEK и ACEK равны.
    
    
    
    
    
40. Внутри треугольника ABC взята точка K. Докажите, что ∠AKB > ∠ACB
    
    
41. Докажите, что треугольнике против большей стороны лежит больший угол, против большего угла - большая сторона.
    Следствие. В тупоугольном треугольнике сторона против тупого угла самая длинная.
    
    
42. В треугольнике ABC провели чевиану BK, то есть соединили вершину B с произвольной точкой K на стороне AC. Докажите, что BK короче хотя бы одной из двух остальных сторон треугольника.
    
    
43. AL - биссектриса треугольника ABC. Докажите, что AB > BL.
    
    
44. Неравенство ломаной. Для любых n точек A₁, A₂, A₃, . . . , A_n справедливо неравенство A₁A₂ + A₂A₃ + . . . + A_n-1A_n ≥ A₁A_n, причём равенство имеет место если и только если точки A₁, A₂, . . . , A_n лежат на одной прямой в указанном порядке.
    
    
45. Внутри треугольника ABC расположена точка O. Докажите, что периметр треугольника AOC меньше периметра треугольника ABC.
    
    
46. ABCD - выпуклый четырёхугольник. Докажите, что AC + BD > AB + CD.
    
    
47. ABCD - выпуклый четырёхугольник. Докажите, что сумма его диагоналей больше половины периметра.
    
    
48. В равностороннем треугольнике ABC на каких-то его сторонах отметили точки P и Q. Докажите, что отрезок PQ короче стороны треугольника.
    
    
49. Есть четыре дома в вершинах выпуклого четырёхугольника. Где нужно построить школу, чтобы суммарное расстояние от всех домов до школы было минимально возможным?
    
    
50. Есть четыре дома в вершинах невыпуклого четырёхугольника. Где нужно построить школу, чтобы суммарное расстояние от всех домов до школы было минимально возможным?
    
    
51. Докажите, что сумма высот любого треугольника меньше его периметра.
    
    
52. Докажите, что сумма диагоналей четырёхугольника меньше его периметра.
    
    
53. Докажите, что сумма диагоналей выпуклого пятиугольника короче удвоенного периметра, но длиннее периметра.
    
    
54. На границе произвольного многоугольника взяли точки P и Q. Докажите, что отрезок PQ короче полупериметра многоугольника.
    
    
55. Может ли сумма диагоналей четырёхугольника равняться 2 см, а его периметр быть больше чем 2 м?
    
    
56. Какой из углов больше, ∠CPB или ∠ABC?
    
    
    
    
    
57. BP < BQ. Докажите, что ∠TQB = ∠TPA.
    
    
    
    
    
58. Докажите, что AKLC – равнобедренная трапеция.
    
    
    
    
    
59. Докажите, что CM = BC/2.
    
    
    
    
    
60. Докажите, что PC = AQ.
    
    
    
    
61. Докажите, что DC = AE.
    
    
    
    

(продолжение следует)