Математический кружок.

Математический кружок для школьников 4-11кл. Для 10-11 кл. - подготовка по математике(ЕГЭ профиль/база), "Покори Воробьевы горы", к олимпиадам МГУ. Поступление в гимназию МГУ. Занятия очные(м.Крылатское)/онлайн(скайп), опыт преподавания с 1972г.
Обращаться к преподавателю.

Несколько задач из демовариантов для поступающих в 8-е классы гимназии МГУ имени М.В.Ломоносова (полный цикл подготовки к поступлению на занятиях):

• В саду растут яблони, груши и сливы. Известно, что количество яблонь в 6 раз больше количества груш, а количество слив кратно количеству груш. Если количество слив увеличить в 7 раз, то оно превзойдет количество яблонь на 33. Сколько всего деревьев в этом фруктовом саду?


• Постройте остроугольный треугольник по углу и двум высотам, одна из которых проведена из вершины угла, а другая опущена на одну из его сторон.


• Цена товара поднялась на 5%, после чего зарплату поднимали дважды: сначала на 8%, а затем еще на 12%. На сколько процентов больше товара стало можно купить после изменения цены и повышения зарплаты?


• Каково минимальное число гирь, необходимых для того, чтобы взвесить любой груз массой от 2 до 40гр. на рычажных(чашечных) весах, если известно, что этот груз может весить только целое число граммов. Гири разрешается класть на обе чаши весов (ранее взвешенные грузы не используются - ред.).
  Ответ. 4 гири: 1гр., 3гр., 9гр., 27гр.

Несколько задач из Диагностической работы для поступающих в восьмые профильные (по математике) классы:

• Отец в пять раз старше сына. В 22 года он закончил институт. С тех пор прошла половина того времени, которое должно пройти, чтобы сыну стало 22 года. Сколько лет каждому сейчас?


• Отрезок АН - высота равнобедренного треугольника АBС. Известно, что СН = 6, угол АBC = 120°. Найдите АВ.


• Какая цифра в записи числа А стоит на 43-м месте после запятой?
  
  
  


• Поезд, который шёл на восток, в 10 часов 36 минут проехал мимо станции Таксимо, в 16 часов 21 минуту мимо станции Новая Чара. Встречный поезд вышел из Новой Чары в 10 часов 30 минут и прибыл в Таксимо в 15 часов 6 минут. Всё это происходило в один и тот же день, каждый поезд двигался с постоянной скоростью. Найдите точное время встречи поездов (без графического решения).

---

из серии клёвых задач:

Дана прямая PQ и точки A и B с одной стороны от неё (картинка такая: если A₁ и B₁ – проекции данных точек на PQ, то точки лежат в порядке P, A₁, B₁, Q). Постройте M ∈ PQ так, что ∠AMP − ∠BMQ = 90^◦ (от Мишуни, 7-й кл.).

---

из серии crazy задач:

Разрежьте произвольный треугольник на тысячу треугольников и в каждом проведите по медиане так, чтобы все эти медианы были равны (Мишуня,7-й кл., продолжает удивлять необычным).

---

новому календарному дню - новые задачки(4-11 кл.):

Компания состоит из трех парней и трех девушек. Каждого из юношей любит одна из трех девушек и каждую девушку любит один из парней; но одна из девушек с грустью заметила, что в их компании никто не любим тем, кого любит сам. Так ли уж невероятно это печальное обстоятельство, если считать, что и парни и девушки выбирают свою симпатию более или менее случайно, наугад?

...и несколько задач постоянных (постараюсь обновлять):

---

Задачи на теорему Пифагора (Вавилов В.В. По следам теоремы Пифагора. 2000г.)
1. Докажите теорему Пифагора.
   В прямоугольном треугольнике квадрат, построенный на гипотенузе, равновелик двум квадратам вместе взятым, построенных на его катетах.
   
   


2. Докажите теорему Евклида.
   Если три подобных многоугольника построены на трёх сторонах прямоугольного треугольника (при этом, катеты и гипотенуза являются соответствующими сторонами многоугольников при их подобии), то площадь многоуольника, построенного на гипотенузе, равна сумме площадей двух других.
   
   (утверждение верно не только для многоугольников, но, и для любых криволинейных подобных фигур, например, слоников, главное, соответствие элементов)


3. Докажите, что для прямоугольного треугольника площадь круга, построенного на гипотенузе, равна сумме площадей полукругов, построенных на катетах.
   
   


4. Докажите теорему Аполлония.
   Если AM - медиана треугольника ABC, то
   AC²+AB² = 2AM²+2BM²
   
   
   


5. Докажите теорему Эйлера.
   Для любого четырёхугольника выполняется равенство
   AB² + BC² + CD² + DA² = AC² + BD² + 4EF²

   где точки E и F являются серединами диагоналей AC и DB соответственно.
   
   



6. Найдите расстояние от вершины прямого угла прямоугольного треугольника с катетами a и b до центра квадрата, построенного вне треугольника на его гипотенузе.
   
   


7. Докажите, что прямые, соединяющие последовательно центры квадратов, построенных на сторонах параллелограмма и примыкающих к ним извне, образуют квадрат.
   
   


8. На гипотенузе вне прямоугольного треугольника построен квадрат. Докажите, что биссектрисса прямого угла делит квадрат на две равновеликих трапеции.
   
   


9. На сторонах AB и AC остроугольного треугольника ABC во внешнюю сторону построены прямоугольники ABB₁B₂ и ACC₁C₂ соответственно, причем AC₂=AB и AB₂=AC. Прямые BC₂ и B₂C пересекаются в точке D. Докажите, что
   а) угол BDC - прямой;
   б) точка D принадлежит прямой B₁C₁.
   
   


10. Пусть F - середина гипотенузы AB прямоугольного треугольника ABC и BC=3AC. Точки D и E делят сторону BC на три равные части. Докажите, что треугольник DEF является прямоугольным и равнобедренным.
    
    


11. Биссектриса прямого угла делит гипотенузу прямоугольного треугольника на части, равные p и q. Найдите катеты.
    
    


12. Катеты прямоугольного треугольника равны a и b. Из вершины прямого угла проведены высота и биссектриса. На какие отрезки разделится гипотенуза?
    
    


13. Докажите, что в прямоугольном треугольнике биссектриса прямого угла делит пополам угол между медианой и высотой, проведенных из прямого угла. Докажите также обратное утверждение.
    
    


14. В прямоугольном треугольнике биссектриса острого угла делит катет на отрезки m и n. Найдите другой катет и гипотенузу.
    
    


15. Медиана и высота, проведенные из одного угла треугольника делят этот угол на три равных угла. Докажите, что треугольник прямоугольный.
    
    


16. Медиана, биссектриса и высота, проведенные из одного угла треугольника делят этот угол на четыре равных угла. Найдите углы треугольника.
    
    


17. Докажите, площадь прямоугольного треугольника равна произведению отрезков гипотенузы, на которые ее делит точка касания вписанной окружности.
    
    


18. Докажите, что если a,b,c соответственно катеты и гипотенуза прямоугольного треугольника, p - полупериметр, то его площадь равна
    S=p(p-c)=(p-a)(p-b)
    
    


19. В треугольнике ABC из вершины прямого угла C опущена высота CD.
    а) Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник ABC, если радиусы окружностей, вписанных в треугольники ACD и BCD равны R₁ и R₂.
    б) Найдите периметр треугольника ABC, если периметры треугольников ACD и BCD равны p₁ и p₂.
    
    


20. В прямоугольный треугольник вписана окружность радиуса r. Радиус окружности, касающейся гипотенузы и продолжений катетов, равен R. Найдите длину гипотенузы.
    
    


21. Докажите, что необходимым и достаточным условием того, чтобы данный треугольник был прямоугольным, является равенство
    2R+r=p

    где R - радиус описанной окружности, r - радиус вписанной окружности, p - полупериметр треугольника.
    



22. Прямоугольный треугольник, периметр которого равен 10, разбит высотой, опущенной на гипотенузу, на два треугольника. Периметр одного из них равен 6. Найдите периметр другого треугольника.
    
    


23. Площадь прямоугольного треугольника равна P, а площадь круга, висанного в него равна Q. Найдите площадь круга, описанного около этого треугольника.
    
    


24. Внутри равностороннего треугольника ABC точка O такова, что OA=6, OB=8, OC=10. Найдите площадь треугольника ABC.
    
    



---

25. В прямоугольном треугольнике ABC AE, AF делят угол А на три равных угла. Для заданных отрезков EF, FB найти отрезок CE.
    
    
    
    
    
    
    Ответ:
    
    
    


26. Заданные отрезки a,b,c пересекаются под углом 90^◦ и вписаны в окружность (см. чертёж). Найти радиус окружности.
    
    
    
    
    
    
    Ответ:
    
    
    


27. Точки M и N – середины диагоналей AC и BD выпуклого четырёхугольника ABCD. Прямая MN пересекает стороны BC и AD в точках P и Q соответственно. Известно, что ∠QPC = 80^◦, ∠PQD = 50^◦. Докажите, что одна из сторон четырёхугольника равна 2MN.
    (8-й класс)
    


28. Окружность, вписанная в четырёхугольник ABCD, касается сторон AB, BC, CD и DA в точках M, N, P и Q соответственно. Докажите, что прямые MN, AC, PQ либо параллельны, либо пересекаются в одной точке.
    (9-й класс)
    


29. Шарик радиуса r брошен в стакан, образованный вращением параболы у = Зх² вокруг оси Оу. При каком наибольшем значении r шарик достигнет дна стакана (точки О = (0,0))?
    Ответ: 1/6.


30. Вычислить сумму, где коэффициенты образуют геометрическую прогрессию, а верхние индексы - арифметическую.
    
    
    Ответ: -2⁵⁷⁵¹.


31. Решите уравнение в целых числах:
    
    Ответ: 5;6.


32. Установите взаимно-однозначное соответствие
    1) между множествами натуральных и целых чисел.
    2) между множествами натуральных и рациональных чисел.
    3) между множествами целых и рациональных чисел.
    4) между множеством точек интервала (0;1) и множеством точек всей числовой прямой.


33. Доказать, что сумма 1+1/2+...+1/n ни при каких натуральных n больше единицы не равна целому числу.


34. Найти сумму:
    


35. Сумма квадратов 100 чисел не превосходит 1. Каково максимально возможное значение суммы этих чисел?


36. Единичный квадрат разрезан на квадраты. Доказать, что стороны всех квадратов рациональны.


37. Черепаха ползла N минут. При этом её наблюдали несколько человек, каждый по одной минуте, иногда несколько сразу, но так, что она ни в какой момент не оставалась без наблюдения. За время наблюдения каждого человека она проползла не более метра. Доказать, что общее расстояние, которая она проползла, не больше 2N метров.


38. Четыре селения расположены в вершинах квадрата со стороной 1. Соединить эти селения сетью дорог так, чтобы суммарная длина всех дорог была наименьшей.
    Ответ. Наименьшая суммарная длина (сеть Штейнера).

Новые задачи от Мишани(7кл., 2021-2022г.г.)(это он продолжает меня тестировать; все задачи он решает сам):



39. Есть 27 монет, одна из них фальшивая (она легче настоящих). Как найти её за 3 взвешивания на чашечных весах?


40. Саша загадал двузначное число, а Аня хочет его отгадать (задавая вопросы, требующие ответы «да» или «нет»). За какое минимальное число вопросов она гарантировано угадает?


41. Среди трех монет ровно одна фальшивая, но она может быть как легче, так и тяжелее настоящих. За какое наименьшее число взвешиваний на чашечных весах без гирь можно её выявить и выяснить, легче ли она настоящей? То же для пяти монет.


42. Кощей Бессмертный спрятал иглу свою в один из 100 сундуков. Как узнать местоположение иглы за 15 вопросов (на которые можно ответить «да» или «нет»), если известно, что Кощей соврёт не более одного раза.


43. На Луне в обращении находятся какие-то монеты достоинством в целое число селенов. У Бибигона с собой несколько монет, причём он может заплатить без сдачи любую сумму от 1 до 16 селенов включительно. Какое минимальное количество монет могло быть у Бибигона?


44. Илье Муромцу, Добрыне Никитичу и Алёше Поповичу за верную службу дали 6 монет: 3 золотых и 3 серебряных. Каждому досталось по две монеты. Илья Муромец не знает, какие монеты достались Добрыне, а какие Алёше, но знает, какие монеты достались ему самому. Задайте Илье Муромцу минимальное число вопросов, на которые он может дать ответы «да», «нет» или «не знаю», чтобы определить, какие монеты ему достались.


45. Имеется одна заведомо настоящая монета и 5 подозрительных, среди которых одна фальшивая, отличающаяся по весу от настоящих (при этом неизвестно, тяжелее она или легче). Внешне подозрительные монеты неразличимы. Как найти фальшивую монету за два взвешивания на чашечных весах без гирь?


46. В классе 25 человек. Сколькими способами можно выбрать из них троих дежурных?


47. На занятия спецкурса ходит 29 семиклассников. Сколькими способами можно выбрать из них команду, состоящую из капитана, заместителя и ещё 4 человек, для участия в турнире матбоёв?


48. Сколько «слов» можно составить из 7-ми букв Ы и 5-ти букв У?


49. Рота состоит из трёх офицеров, шести сержантов и 60 рядовых. Сколькими способами можно выделить из них отряд, состоящий из офицера, двух сержантов и 20 рядовых?


50. Сколько семизначных чисел можно составить:
    a) из трёх четвёрок и четырёх троек;
    b) из трёх пятерок и четырёх нулей?


51. a) В классе 24 ученика. Нужно выбрать из них шестерых дежурных в раздевалку и троих дежурных в столовую. Сколькими способами можно это сделать? (Один человек не может дежурить и там, и там.)
    b) А сколько есть способов выбрать дежурных так, чтобы ученик этого класса Коля Васин обязательно дежурил в столовой?


52. Сколькими способами можно разделить 30 человек на
    a) две одинаковые команды;
    b) три одинаковые команды?


53. Сколькими способами можно переставить буквы слова СОЧЕТАНИЯ так, чтобы и гласные, и согласные шли в алфавитном порядке?


54. У Анны Алексеевны есть список из 100 задач по комбинаторике. Она хочет собрать из них 29 индивидуальных вариантов контрольной, в каждом варианте по 3 задачи. Сколькими способами она может это сделать? (Одна и та же задача может входить сразу в несколько вариантов, но двух совсем одинаковых вариантов быть не может. Порядок задач в варианте не важен.)


55. На карусели 10 сидений, расставленных по кругу. Сколькими способами можно покрасить 5 из них в синий цвет, а другие 5 — в красный? (Способы, переходящие друг в друга при повороте карусели, считаются одинаковыми.)


56. Есть 15 девочек и 15 мальчиков. Для участия в конкурсе бальных танцев из них нужно выбрать команду, в которой поровну девочек и мальчиков. Команда может быть любого размера. В частности, можно не посылать на конкурс вообще никого, или, наоборот, послать всех.


57. Кирилл хочет покрасить в черный цвет некоторые клетки белой таблицы 8 на 8 так, чтобы в каждой строке белых клеток было больше, чем черных, а в каждом столбце — белых меньше, чем черных. Получится ли у него?


58. Среди 43 камней есть один радиоактивный. Счётчиком Гейгера для любой кучки камней можно проверить, есть ли среди них радиоактивный. За какое наименьшее количество проверок можно найти радиоактивный камень?


59. Пусть p>3 — простое число. Докажите, что p² −1 делится на 24.


60. В графе 18 вершин, причём степень каждой вершины равна 2 или 5, вершины обеих степеней присутствуют. Сколько компонент связности может быть в таком графе?


61. В графе степени всех вершин равны 5. Его рёбра покрасили в три цвета так, что по рёбрам каждого цвета можно пройти от любой вершины до любой другой. Сколько вершин может быть в этом графе?


62. В клетках доски 8 на 8 расставлены числа 1, 2, . . . , 64. Докажите, что найдётся пара соседних по стороне клеток, числа в которых отличаются не менее чем на 5.


63. В равенстве ДУБ + ДУБ + ДУБ + · · · + ДУБ = РОЩА одинаковыми буквами заменены одинаковые цифры, а разными — разные. Какое наибольшее число дубов может быть в роще?


64. Можно ли клетчатую доску 101 на 101 замостить без пропусков и наложений доминошками 1 на 2 и крестами из 5 клеток?


65. На переправу через пролив Босфор выстроилась очередь из сорока разбойников. У них есть одна лодка, в которой могут плыть двое или трое (в одиночку плыть нельзя). Но разбойники согласны плыть на лодке только с друзьями, а дружат между собой только разбойники, стоящие рядом (первый со вторым, второй — с первым и третьим, третий — со вторым и четвёртым, и т.д.) Когда разбойники поняли, что не смогут перебраться на другой берег, и уже собрались уходить, к ним подошёл Али-Баба, друживший с первым и вторым разбойниками, и они все вместе смогли перебраться на другой берег. Как они смогли это сделать?


66. Шла Саша по шоссе. Сначала она прошла 5 км, потом 6 км, потом 7 км, потом 8 км (каждый раз Саша шла в каком-то определённом направлении). На какое расстояние она могла удалиться от начальной точки (укажите все возможности и объясните, почему других нет)?


67. Представьте обыкновенную дробь 1543/666 в виде цепной.


68. Рабочий может выполнить заказ за 8 ч, а вместе с учеником – за 7 ч. За сколько времени один ученик выполнит четверть заказа?


69. Семья состоит из мужа, жены и их дочери-студентки. Если бы зарплата мужа увеличилась вдвое, общий доход семьи вырос бы на 67%. Если бы стипендия дочери уменьшилась втрое, общий доход семьи сократился бы на 4%. Сколько процентов от общего дохода семьи составляет зарплата жены?


70. Учительница попросила Ксюшу сложить два натуральных числа и сказала, что получится красивый ответ. Ксюша сложила числа и получила 2021. Уверенная, что всё правильно, она показала ответ, но выяснилось, что в одном из чисел она по невнимательности не заметила ноль на конце. Учительница же, говоря про красивый ответ, имела в виду число 8888. Какие числа складывала Ксюша?


71. Али-Мурад продаёт на рынке финики: турецкие по 200 руб./кг, а иранские по 300 руб./кг. Али-Мурад посмотрел, сколько у него каких фиников, и подсчитал, что за турецкие он выручит столько же, сколько и за иранские. Кто-то случайно толкнул прилавок, и все финики перемешались. По какой цене за килограмм теперь Али-Мурад должен продавать получившуюся смесь?


72. Миша проезжает путь от дома до дачи за 30 минут, а его сестра Галя – за 45 минут. Однажды по дороге на дачу Миша встретил Галю. Выяснилось, что Галя едет с дачи и что она выехала на 10 минут позже Миши. Сколько времени после встречи с сестрой Мише еще ехать до дачи?


73. Целые числа p, q и r; таковы, что p+2q+3r делится на 11. Докажите, что тогда 5p-q+4r также делится на 11.


74. Два кафе испекли по одинаковому количеству тортов. Первое кафе продало 7 тортов целиком, а все остальные разрезали каждый на 7 кусков и продавали кусочками. Второе кафе продало 11 тортов, а каждый из оставшихся разрезали на 11 кусочков и продали по кусочкам. Оказалось, что каждое кафе продало одинаковое число кусочков. Сколько тортов первоначально было испечено в каждом кафе?


75. При каких значениях n все три числа n - 5, n + 9, n + 11 одновременно являются простыми?


76. Представьте 17/71 в виде цепной дроби.


77. Решите уравнение с параметром a(a + 5)x = a + 5 (то есть опишите корни этого уравнения при всех значениях параметра a).


78. В школе у Васи принят этический кодекс, который предписывает всем мальчикам носить штаны длины не меньшей 20% от их роста. Когда измерили длину Васиных штанов, то она оказалась на 20% меньше максимально разрешённой. Тогда Вася отдал штаны своему младшему брату, который на 10 см ниже. Выяснилось, что всё равно штаны короче разрешённых на 4 см. Какой рост у Васи?


79. Говядина без костей стоит 90 рублей за килограмм, говядина с костями — 78 рублей за килограмм, а кости без говядины — 15 рублей за килограмм. Сколько костей в килограмме говядины? (Считается, что на извлечение костей из мяса деньги не тратятся.)


80. 33 кошки весят больше, чем 32 кота. Кто весит больше: 32 кошки или 31 кот? (Все кошки весят одинаково и коты – тоже.)


81. Лиса Алиса меняет золотые на рубли по курсу 3020 рублей за один золотой, и еще берет 1 золотой комиссии независимо от меняемой суммы. Кот Базилио меняет рубли на золотые по курсу 3000 рублей за один золотой, и еще берет 7000 рублей комиссии независимо от меняемой суммы. Буратино поменял у Алисы несколько золотых на рубли, а потом эти рубли обменял у Базилио снова на золотые. В результате золотых стало столько же, сколько и было вначале. Сколько же?


82. Переведите из десятичной дроби в обыкновенную: a)43,(15); b) 0,(405); c) 12,3(45).


83. При каких целых h корень уравнения (h - 6)x = 25 является целым числом?


84. Пять лет назад Таня была в шесть раз младше матери, а через 15 лет она будет вдвое младше матери. Сколько лет Тане сейчас?


85. Верно ли, что 1,(3)² = 1,(7)?


86. Отцу и двум его сыновьям вместе 48 лет. Через 5 лет возраст отца будет в два раза больше суммы возрастов его сыновей, а Коле будет столько лет, сколько Юре сейчас. Сколько сейчас лет Коле?


87. В десятичной записи числа 1/7 случайно пропустили 2021-ю цифру после запятой. Уменьшилось от этого число или увеличилось?


88. Начертите четыре прямые так, чтобы они пересекались ровно в пяти точках.


89. Начертите пятиконечную звезду. Может ли прямая, не проходящая ни через одну её вершину, пересечь все пять её звеньев?


90. Вдоль шоссе стоит
    а) два
    б) три
    в) четыре дома.
    Где надо построить автобусную остановку, чтобы сумма расстояний до неё от всех домов была минимальной?
91. Принимая без доказательства, что сумма углов у всех треугольников одинаковая, найдите, чему она равна.


92. Могут ли семь прямых пересекаться ровно в девяти точках?


93. Четыре точки — A, B, C и D — лежат на прямой в указанном порядке. Известно, что BC = 1, а сумма длин всех отрезков с концами в этих точках равна 1543. Найдите AD.


94. Через любую точку на прямой можно провести единственный перпендикуляр к ней.


95. Какой угол между часовой и минутной стрелкой в 16.00? в 11.30? в 23.40? в 06.10?


96. У Вари есть шаблон угла в 70^◦ и линейка (шаблон угла –- это пластмассовый или металлический треугольник, один из углов которого равен указанному числу градусов. Шаблон позволяет обвести карандашом нужный угол и тем самым начертить его). Варя хочет начертить угол в 40^◦. Как ей сделать это?


97. А Кирилл потерял линейку, но зато у него есть шаблон угла в 19^◦. Кирилл хочет начертить угол в 1^◦ . Как ему справиться с этой задачей?


98. Через точку провели семь прямых. Докажите, что угол между какими-то двумя прямыми меньше 26^◦.


99. В чистом поле находится суперсекретный военный объект. Часовой стоит неподвижно, смотрит в одну сторону и видит вдаль на 100 метров. Расставьте в поле нескольких часовых так, чтобы ни к объекту, ни к часовым нельзя было незаметно подобраться. (Объект и часовых считайте точками. На рисунке отметьте объект и часовых и начертите «линии взгляда» для каждого часового.)




Задачи от Мишани(4кл., 2018-2019)(я ему не помогаю; это он меня тестирует):


100. Винни Пух купил упаковку чая, в которой 30 пакетиков чая. Чтобы сварить один стакан чая можно использовать 1 новый пакетик чая или 2 пакетика, использованных один раз, или 3 пакетика использованных два раза, или 6 пакетиков, использованных три раза. Более четырех раз пакетик чая не используется. Какое наибольшее количество стаканов чая может выпить Винни Пух, используя новую упаковку?


101. Капитан Врунгель утверждает, что сможет разложить 120 алмазов в отсеки коробки 3x5 так, чтобы во всех лежало различное число алмазов, а в любых двух соседних (через перегородку) было вместе не более 17 алмазов. Прав ли капитан?


102. На кружке физики учитель поставил следующий эксперимент. Он разложил на чашечные весы 16 гирек массами 1, 2, 3, 16 грамм так, что одна из чашек перевесила. Пятнадцать учеников класса по очереди выходили из класса и забирали с собой одну гирьку, причем после выхода каждого ученика перевешивала противоположная чашка весов. Какая гирька осталась на весах? Ответ обосновать.


103. На восьми березах сидят восемь воробьев - по одному на каждой березе. Березы растут в ряд с интервалом в 10 м. Если какой-то воробей перелетает с одной березы на другую, то какой-то другой воробей обязательно перелетает на столько же метров, но в обратном направлении. Могут ли все воробьи собраться на одной березе?


104. На восьми березах сидят восемь воробьев — по одному на каждой березе. Березы растут по кругу с интервалом в 10 м. Если какой-то воробей перелетает с одной березы на другую, то какой-то другой воробей обязательно перелетает на столько же метров, но в обратном направлении. Могут ли все воробьи собраться на одной березе?


105. На семи березах сидят семь воробьев — по одному на каждой березе. Березы растут в ряд с интервалом в 10 м. Если какой-то воробей перелетает с одной березы на другую, то какой-то другой воробей обязательно перелетает на столько же метров, но в обратном направлении. Могут ли все воробьи собраться на одной березе?


106. Круг разделён на десять секторов, в каждом из которых стоит фишка. Разрешается за один ход сдвинуть любые две фишки в соседние с ними сектора. Можно ли с помощью таких операций собрать все фишки в одном секторе?


107. На доске написаны числа 1, 2,...,10. Разрешается взять любые три числа а, Ь и с и заменить их числами а+Ь-с, Ь+с-а, с+a-Ь. Можно ли с помощью таких операций получить на доске числа 2, 3, ..., 11?


108. На доске написаны числа от 1 до 100. Каждым ходом мы стираем два из них и записываем вместо них их сумму. Какое число останется на доске последним?


109. На доске написаны числа от 1 до 10. Каждым ходом мы стираем два из них и записываем вместо них их сумму, уменьшенную на 1. Какое число останется на доске последним?


110. На доске написано 20 единиц и 20 нулей. Мы стираем два числа, и при этом, если они равны, то вместо них пишем 0, а если различны, то 1. Какая цифра останется на доске последней?


111. На доске написано 29 единиц и 29 нулей. Мы стираем два числа, и при этом, если они равны, то вместо них пишем 0, а если различны, то 1. Какая цифра останется на доске последней?


112. На доске написаны числа от 1 до 10. Каждым ходом мы стираем два числа, назовем их X и Y, записываем вместо них число равное X*Y + X + Y. Какое число останется на доске последним?


113. Пусть а, Ь, с - три цифры, отличные от нуля. Из них составили шесть различных чисел, в каждом из которых каждая из этих цифр встречается только один раз. «Крайним» из этих шести чисел называют наибольшее или наименьшее из них. Число аЬс - не «крайнее». Укажите еще одно не «крайнее» число.
     Ответ обоснуйте.


114. В каждой вершине каркаса куба, сделанного из проволоки, сидит муравей. Муравьи собрались в одной точке на некотором ребре. Каждый из них дополз до этой точки по ребрам, используя наименьший из возможных путей. Сумма расстояний, которые проползли все муравьи, равна 240 см. Найдите длину ребра куба.


115. У числа можно любую нечетную цифру переставлять в конец (записывать ее справа от него), а любую четную цифру переставлять в начало (записывать ее слева от него). Какое
     а) наименьшее
     б) наибольшее
     число можно получить из числа 391728 такими перестановками?
     Ответ обоснуйте.


116. Пришли как-то к Великому Султану 5-ть мудрецов. И попросили рассудить — кто из них самый мудрый. Султан устроил им состязание. Он показал им 3 белых колпака и 5 черных. Потом посадил их в кружок и надел каждому из них по черному колпаку. Каждый видит остальных, но своего колпака увидеть не может. Сидят молча, думают. Кто первый поймет, какой у него колпак — тот, значит, и самый мудрый. Как один из мудрецов(Мишаня?) через некоторое время смог об этом догадаться?
     (я таки не смог, не хватило терпения...)


117. Можно ли шахматную доску с одним вырезанным углом разделить на полоски по 3 клетки?


118. Сколько способов поставить двух разноцветных королей на шахматную доску так, чтобы они не били друг друга?


119. На каждой клетке доски 3 на 3 сидит жук. В некоторый момент времени все жуки взлетают и приземляются на соседние клетки. Докажите, что при этом окажется хотя бы одна пустая клетка.


120. Сколько 6-ти значных чисел , в которых хотя бы одна цифра четная?


121. Найти самое большое натуральное число, в котором все цифры различны и которое делится на каждую свою цифру.
     Ответ: у Мишани - 9867312 (а у меня на скорую руку получилось - 9782136; тест не прошел, "эх, Семён Семёныч..."(с))


122. 


123. Миша живет в 290 квартире в 9 этажном доме. На каждом этаже этого дома 4 квартиры. В каком подъезде живет Миша?


124. Карлсон переехал и теперь живет в 131 квартире в одноподъездном небоскребе. На 7 этаже этого небоскреба расположены квартиры с 43 по 49. На каком этаже живет Карлсон?


125. В семиэтажном доме на каждой лестничной площадке 5 квартир. Какой номер имеет первая квартира на 4 этаже в 7 подъезде этого дома?


126. Маша живет в последней квартире на площадке 4 этаже 3 подъезда. При этом в первых двух подъездах 96 квартир, а на каждом этаже в одном подъезде 6 квартир. В какой квартире живет Маша?


127. В 16 этажном доме первый этаж отдан под магазины. На некотором этаже в этом доме расположены квартиры с 61 по 64. Родители Гриши живут в 321 квартире в этом доме. На каком этаже и в каком подъезде живут родители Гриши?


128. На каждой лестничной площадке в доме Мишани расположено 2 квартиры. Всего в доме 70 квартир. Сколько подъездов и сколько этажей может быть в доме? Приведите все возможные варианты.


129. Малыш живет в 4 подъезде в 34 квартире, а его друг Кристер – в 29 квартире в 3 подъезде. Фрекен Бок переехала в квартиру 89. В каком подъезде теперь живет Фрекен Бок?


130. В доме 170 квартир. На каждом этаже 5 квартир. Миша живет выше Яны, но ниже Гриши в этом доме, при этом Гриша и Миша живут в разных подъездах. Сколько в этом доме этажей?


131. Света и Ксюша живут в одном доме, на каждой лестничной клетке которого 4 квартиры. Света живет на десятом этаже в квартире 84. Ксюша живет в квартире 100. На каком этаже живет Ксюша?


132. Коля и Вася живут в одном доме, на каждой лестничной клетке этого дома расположено 4 квартиры. Коля живет на 5 этаже в квартире 62, а Вася – на четвертом этаже в квартире 174. Сколько этажей в этом доме?



... и немного посложнее (от Мишани):


133. Найдите наименьшее нечетное натуральное число, сумма цифр которого равна 2003.


134. Можно ли 8 различных натуральных чисел от 1 до 8 разбить на 4 пары так, чтобы сумма чисел любой пары делила нацело сумму всех чисел, не входящих в данную пару?


135. На одной из чашек весов лежит груз массой 17 грамм. Вася последовательно кладет на любую из двух чашек весов по одной гирьке. Масса первой гирьки равна 1 грамму, а каждая следующая гирька на 1 грамм тяжелее предыдущей. Какое наименьшее число гирь должен положить Вася для того чтобы уравновесить весы.


136. Квадратный стол разделен на 4 квадратных клетки. В одной из клеток сидит таракан. В каждой клетке нарисована стрелка, которая показывает, куда должен ползти таракан. Все стрелки параллельны сторонам квадрата. Таракан начинает двигаться в направлении, которое указано в клетке, в которой он находится. Когда он покидает клетку, направление в ней меняется на 90⁰. Какое наибольшее число переползаний из клетки в клетку может сделать таракан, не покидая стола?


137. Какова первая цифра в десятичной записи произведения 100-значных чисел 333…33 и 33…34 (в первом множителе 100 цифр 3, а во втором 99 цифр 3 и одна цифра 4)?


138. Петя может в числе 2047689 переставлять местами две любые цифры различной четности. Какое наибольшее число он может получить таким образом?


139. Может ли у натурального числа быть ровно 5 четных делителей и 6 нечетных?


140. Вася выписал в ряд несколько различных натуральных чисел в порядке возрастания. Оказалось, что их сумма равна 2004. Сможет ли разность между последним и первым из них быть равной трем?


141. В ряд стоят 10 гномов. Каждую минуту гном, у которого есть орехи и сосед справа имеет больше орехов, передает этому соседу один орех. Через какое время передача орехов прекратится, если первоначальное распределение орехов следующее: 1, 3, 5, 7, 9, 2, 4, 6, 8, 10?


142. Два ученика одновременно стартуют с одного места и бегут в одну сторону с постоянными скоростями по круговому треку. Первый – ученик 7 класса, и должен пробежать 7 кругов. Второй – ученик 11 класса, и должен пробежать 11 кругов. Ученик 7 класса держит на старте эстафетную палочку, которую им нужно будет передавать друг другу при каждой встрече. Сколько кругов сделала эстафетная палочка, если оба ученика завершили бег одновременно на месте старта.


143. В клубе мудрецов записано 12 человек, из которых 4 глупца. Мудрецы всегда говорят правду, а глупцы могут говорить правду или ложь. Когда они все сели по кругу, каждый про своего соседа справа сказал, что он глупец или мудрец. Высказывания каждого обозначены буквами: «Г» – если он сказал «глупец», и «М» - если он сказал «мудрец». Вот список их высказываний: М-М-Г- М-М-Г- М-М-Г- М-М-Г. Про кого можно точно сказать, что он мудрец?


144. Число 2а состоит из 333 двоек и 334 единиц. Найти сумму цифр числа а.


145. Двадцать карточек, на которых написаны натуральные числа от 1 до 20, выложены в порядке возрастания. За одну операцию можно поменять местами две соседние карточки, если у них нет общей цифры. Какое наименьшее количество карточек может оказаться слева от карточки с числом 20 после нескольких таких операций?


146. Раскрасьте на доске размера 6 на 6 несколько клеточек так, чтобы любой квадратик 2 на 2 закрывал нечетное количество раскрашенных клеток.


147. У Пети есть 4 щуки, 3 рака и 3 лебедя. Он хочет расставить всех этих существ по кругу, так чтобы среди любых трех подряд идущих существ не было трех одинаковых и не было трех разных. Как это сделать?


148. Генерал дал задание инженеру: на территории форта нужно построить 6 одинаковых оборонительных башен, так чтобы из каждой башни были видны ровно 4 другие башни (если 3 башни стоят на одной прямой, то крайние башни друг друга не видят). Покажите, как инженер смог справиться с задачей.


149. Мама испекла торт шестиугольной формы. Сын заметил, что одним прямым разрезом можно разрезать этот торт на 4 части. Покажите, как такое могло произойти.


150. Гостиная Барона Мюнхаузена представляет собой клетчатый квадрат 6 на 6. Барон утверждает, что его ковер является целым куском ткани и закрывает ровно 24 клетки. При этом в каждом вертикальной и каждой горизонтальном ряду покрыто ровно 4 клетки. Не обманывает ли Барон?



151. 
     Найти площадь заштрихованной части.
     
     
     (источник )
     
     
152. 
     Даны квадрат и окружность, касающаяся стороны квадрата. Найти площадь квадрата.(6-8кл.)
     
     
     (источник )
     
     
153. 
     Найти площадь четырехугольника.(6-8кл.)
     
     (источник )
     
     
154. 
     Дан треугольник, из его двух вершин проведены линии, которые делят треугольник на три треугольника с площадями 3,4 и 2. Найти площадь четырехугольника сверху.(6-8кл.)
     
     
     (источник )
     
     
155. 
     Найти площадь маленького треугольника в левом верхнем углу параллелограмма ABCD.
     
     
     (5-классник в Китае решил эту задачу за 1 минуту)
     
     (источник )
     
     
156. 
     Прямой круговой конус пересечен плоскостью по замкнутой кривой. Вписанные в конус шары касаются плоскости сечения в точках А для одного и В для другого шара. Найти на линии сечения точку С так, чтобы сумма расстояний СА + СВ была а) наибольшей, б) наименьшей.
     (В.И.АРНОЛЬД. Задачи для детей от 5 до 15 лет.)
     
     
157. 
     Найти площадь треугольника с углами (A, B, C) на сфере радиуса 1, стороны которого — окружности больших кругов (сечения сферы плоскостями, проходящими через ее центр).
     (В.И.АРНОЛЬД. Задачи для детей от 5 до 15 лет.)
     
     
158. (из набора задач для подготовки к ДВИ, задачу предложил А.М.Мажуга) Решить относительно x в вещественных числах уравнение:

     
     
     Ответ.
     
     
     

159. (9-11кл.) В клубе собралась группа из 11 путешественников. Когда зашёл разговор о некоторой стране, оказалось, что в совокупности любые 6 путешественников побывали во всех городах этой страны (т.е. каждый город посетил хотя бы один из этих 6 путешественников), но не существует 5 путешественников, которые в совокупности посетили все города. Чему равно наименьшее число городов, которое может быть в этой стране?
     Ответ. 462
     
     
160. 
     (из набора задач для подготовки к ДВИ) Решить уравнения:
     
     
     Ответ:
     
     
     
     

     

     
     Ответ:
     
161. 
     (8-11кл.)Первые 1024 точек являются вершинами выпуклого многоугольника. Ещё 512 точек находится внутри многоугольника, при этом, никакие три из 1536 точек не лежат на одной прямой. Многоугольник разрезан на треугольники таким образом, что каждая из 1536 точек является вершиной какого-нибудь треугольника, и никаких иных вершин у треугольников нет. Определите, сколько всего получилось треугольников.
     Ответ. 2046
     
     
162. 
     (9-11кл.) Чему равно количество 64-х значных чисел, записываемых при помощи 56-ти нулей и 8-ми единиц, в записи которых не встречаются две подряд идущей цифры 1 ?
     Ответ. 231917400
     
     
163. 
     (10-11кл.)Математическая блоха скачет по плоскости в декартовой системе координат, при этом за один прыжок она увеличивает свою абсциссу или ординату на единицу. Чему равна вероятность того, что ее путь будет проходить через точку с координатами (7;11), если изначально она находилась в начале координат. Ответ умножьте на 10000 и отбросьте дробную часть.
     Ответ. 1213
     
     
164. 
     Найти углы треугольника (чертеж дан без масштаба)
     
     
     
     Dr. Gary R.Gruber
     
     
165. 
     Найти минимум величины
     
     
     
     где a,b - заданные стороны треугольника, а r - радиус его вписанной окружности по всем треугольникам.
     
     Ответ:
     
     
     
166. 
     (9-11кл.) Для действительных чисел m и n определим следующую операцию:
     
     
     
     
     Найдите значение выражения
     
     
     
     Ответ: 1/3
     
     
167. 
     На плоскости дан круг пересеченный тремя группами параллельных прямых. В первой группе 10, во второй и третьей 11 и 12 прямых, соответственно. На какое наибольшее число эти прямые могут разбить круг?
     Ответ: 396
     
     
168. докажите в общем виде:
     
     
     
169. Решить в целых числах:

     
     
     

170. 
     
     
171. Жестянщик производит таблички с буквами. Одинаковые буквы он делает за одинаковое время, а разные – возможно, за разное. На две таблички «ДОМ МОДЫ» и «ВХОД» он потратил 50 минут, а на одну табличку «ДЫМОХОД В» он сделал за 35 минут. За какое время он сделает табличку «ВЫХОД»? (3-4кл., МИРЭА, 2013г.)
     
     
172. Расставьте по кругу натуральные числа от 1 до 8 так, чтобы любое число делилось на разность соседних с ним чисел. (7-10кл.)
     
     
173. В суточном забеге одновременно стартовали Петя и Вася и побежали с постоянными скоростями по круглому стадиону. Вначале Петя бежал быстрее и через час догнал Васю (перегнал на круг). Тогда Вася ускорился на 2 км/ч и через 2 часа сам догнал Петю. После этого тот сразу ускорился ещё на 1 км в час и стал бежать быстрее Васи. Когда Петя теперь догонит Васю? (7-11кл.)
     Ответ. через 4 часа.
     
     
174. Бассейн заполняется из двух труб: одна с пресной водой, другая – с морской. Если открыть кран с пресной водой, то бассейн заполнится за 210 минут . Если открыть оба крана – за 140 минут. Заполняя пустой бассейн, открыли сначала морскую воду, а через некоторое время – ещё и пресную. Когда бассейн заполнился, солёность воды в нём стала 17%. Сколько минут прошло между открытием первого и второго кранов, если солёность морской воды 35%?
     Ответ. 96мин.
     
     
175. Существует ли степень двойки, из которой перестановкой цифр можно получить другую степень двойки?
     Ответ. Нет, не существует.
     
     
176. Найти наименьшее число, которое начинается с 2013 и делится на все числа от 1 до 9 ( 6кл.)
     
     
177. Спешу поделиться одной жемчужинкой(прислали коллеги):
     
     Медианы треугольника делят его на 6 треугольников. Опишем около каждого окружность; получится 6 окружностей (на рисунке изображены пунктиром). Тогда их центры лежат на одной окружности (на рисунке красная)!
     
     
     (хотелось бы знать автора этого искусства)
     
     
178. Решить уравнение (10кл.):
     
     
     
     
     Ответ.
     
     
179. Найти все целые числа n, для которых сумма является полным квадратом:
     
     
     
     
     
     
180. Найти уравнение, все корни которого обратны корням уравнения:
     
     
     
     
     
     
181. Доказать неравенство (для положительных чисел):
     
     
     
     
     
182. Доказать, что
     
     
     
     
     
183. Найдется ли такое целое n, что первые девять знаков после запятой в записи числа будут 987654321 ?
     
     
184. Решите в натуральных числах
     
     
     
     
     
185. Доказать, что
     
     
     
     
     
186. Найдите наименьшее значение выражения
     
     
     
     
     При каких x, y оно достигается? (можно устно )
     
     
187. Пусть ; , и .
     
     Тогда выполняются неравенства
     
     1. Неравенство Коши между арифметическим средним и геометрическим средним:
        
        
        
        Равенство достигается при
        
        
     2. 
        
        
        
        Равенство достигается при
        
        (неравенства верны, есно, и для n переменных)


188. Дан отрезок AB. Найдите множество таких точек C плоскости, что медиана треугольника ABC, проведённая из вершины A, равна высоте, проведённой из вершины B:
     


189. Найти все числа, равные сумме факториалов своих цифр:
     
     
     
     
     Ответ: 40585, 145, 2, 1 (решение Шкляева Александра Викторовича).


190. Продолжить закономерность: 1001, 2002, 3003, 3432, ... Ответ: 3003, 2002,...


191. В чемпионате мира среди профессионалов по крестикам-ноликам на бесконечной клетчатой доске участвовало 10 игроков. Проигравший партию, выбывал из турнира. Какое максимальное число участников могло выиграть по две партии? - для младших школьников; (в крестиках-ноликах на бесконечной доске выигрывает тот, кто поставит пять своих значков подряд по одной линии - вертикали, горизонтали или диагонали; ничьих не бывает)
     поиграть можно здесь (игра 5-ть шаров).


192. У одного человека было 12 монет, неотличимых по внешнему виду. Одна монета была фальшивая и отличалась по весу от настоящей. У человека были также очень чувствительные равноплечные весы, но без гирь. Может ли он при помощи не более трех взвешиваний обнаружить фальшивую монету и определить, тяжелее она или легче, чем настоящая? (Donald Eves)
     Ответ. да, может - три взвешивания.


193. Известный математик Лео Мозер предложил следующую задачу: как начертить на плоскости двухцветную карту, обладающую таким свойством, что, как бы вы ни накладывали на нее равносторонний треугольник со стороной 1, все три его вершины не будут лежать на точках одного цвета?


194. Сковородка вмещает 6 ломтиков хлеба. Для поджаривания одной стороны каждого ломтика необходимо 30 сек. За какое наименьшее время можно на этой сковороде поджарить :
     а) 9 ломтиков;
     б) 15 ломтиков;
     в) 33 ломтика?
     Ответ. а) 1 мин 30 сек; б) 2 мин 30 сек; в) 5 мин 30 сек.


195. В единичный квадрат бросили 51 точку. Доказать, что некоторые три из них обязательно лежат внутри круга радиуса 1/7.


196. Несколько дуг окружности окрашены в чёрный цвет. Сумма длин окрашенных дуг меньше половины длины окружности. Докажите , что существует диаметр, оба конца которого не окрашены.


197. Провести через данную точку прямую, высекающую на двух данных равных окружностях хорды равной длины.


198. Чему равно наибольшее число стальных шариков диаметром 1 см, которые могут уместиться в квадратной коробке размером 10 х 10 х 5 см?
     Ответ. 594 шарика.


199. Четверо отправились на экскурсию. Трое из них захватили с собою еду: первый — 4, второй — 3, третий — 1 бутерброд. Бутерброды разделили между всеми поровну. Четвертый должен был возместить 1руб.20коп., и он дал первому 60 копеек, второму — 45, третьему — 15 копеек. Но первый стал возражать. Прав ли он?


200. На вертикальной стене висит плакат АВ ( А - верхняя горизонталь, В - нижняя). На каком расстоянии от стены должен стать наблюдатель, чтобы угол, под которым он видит плакат, оказался наибольшим? (уровень глаз или выше А, или ниже В)


201. Четыре жука — А, В, С, D — сидят по углам квадрата со стороной 10 см. Жуки А и С — самцы, В и D — самки. Они начинают одновременно ползти: A к В, В к С, С к D и D к А. Если все жуки ползут с одинаковой скоростью, то они опишут четыре одинаковые логарифмические спирали, которые пересекаются в центре квадрата. Какое расстояние проползет до встречи каждый жук?


202. Обычно в метро я поднимаюсь вверх по эскалатору. Я подсчитал, что, идя по лестнице идущего вверх эскалатора, я поднимаюсь сам на 20 ступенек, и весь подъем занимает у меня точно 60 с. Моя жена идет по лестнице медленнее и поднимается всего на 16 ступенек; поэтому все время, затрачиваемое ею на подъем по эскалатору, оказывается больше — оно составляет 72 с. На сколько ступенек мне придется подняться, если эскалатор вдруг сломается?


203. Разделить правильный пятиугольник на две равновеликие части прямой, параллельной одной из его сторон.


204. Семья ночью подошла к мосту. Папа может перейти его за 1 минуту, мама — за 2, малыш — за 5, а бабушка — за 10 минут. У них есть один фонарик. Мост выдерживает только двоих. Как им перейти мост за 17 минут? Если переходят двое, то они идут с меньшей из их скоростей. Двигаться по мосту без фонарика нельзя.(есть 2-а варианта решения).*


205. На бесконечный белый лист уронили каплю чернил, которая превратилось во множество разбросанных пятен неправильной формы с общей площадью <1. Как покрыть этот лист бумаги квадратной сеткой с шагом 1, чтобы ни один узел сетки не попал в чернильное пятно?


206. На дне озера бьют ключи. Стадо из 183 слонов могло бы выпить озеро за один день, а стадо из 37 слонов - за 5 дней. За сколько дней выпьет озеро один слон?
     Ответ. за 365 дней.


207. На трех лугах площадью 4/3, 10 и 24 га трава растет одинаково, т. е. с одинаковой густотой и с одним и тем же приростом. После того как на первом лугу 12 коров паслись 4 недели, а на втором лугу 21 корова паслась 9 недель, трава оказалась съеденной настолько, что оба пастбища на время пришлось забросить. Сколько коров можно пасти на третьем лугу в течение 18 недель?
     Ответ. 36 коров.

Ну, а посложнее, можно посмотреть задачи предлагавшиеся на Олимпиадах.

* задачку принес мой абитуриент (решал ее на олимпиаде в одном из московских вузов). Ранее задачка предлагалась соискателям работы в Microsoft.