Дата    Время
 МГУ имени М.В.Ломоносова
Московский государственный университет
имени М.В.Ломоносова

 Главная 
 Результаты по ЕГЭ, ДВИ(МГУ) 
 Курс по параметрам (ЕГЭ, ДВИ МГУ)
 Варианты письменных экзаменов МГУ 
 Вебинары по вариантам ДВИ
 Пособия 
 Консультации студентам 
 Темы занятий
 Библиотечка для учеников 


 Математический кружок 
 Преподаватель, контакты 
 Отзывы
 Сайты коллег/компаний 

 Переменка 
 

 ПОДГОТОВКА ПО МАТЕМАТИКЕ
 поступающим в МГУ имени М.В.Ломоносова

  • Математический кружок для 8-9кл.: развитие способностей/увлеченности решать нестандартные, логические, интересные задачи.
  • Подготовка к математическим олимпиадам «Ломоносов»,«Покори Воробьевы горы».
  • Подготовка к сдаче Основного государственного экзамена выпускников 9 классов (ОГЭ).
  • Подготовка к сдаче Единого государственного экзамена (ЕГЭ).
  • Подготовка к сдаче Дополнительных вступительных испытаний(ДВИ) в МГУ имени М.В.Ломоносова.
      Большой объем заданий, авторские методички для самостоятельной работы (подборка материалов/задач
      по экзаменам в МГУ с 1965г.), высокий уровень подготовки.

      Опыт преподавания ученикам с 1972г.(будучи еще на 1-м курсе ВМК), абитуриентам с 1973г.
      Опыт приема вступительных экзаменов в МГУ (в качестве проверяющего работы) с 1980г.
      по настоящее время.
      Обращаться к преподавателю.

Новости

 - Выложена задачка с математического кружка(от 13.11.2019)new.
 - Вебинары по решению задач с экзаменов МГУ(+ДВИ).new
 - Результаты учеников 2019г. по ЕГЭ.new
 - Буслаев Антон, Каплан Виталий. 9 мифов о репетиторах и репетиторстве.
 - "Репетиторство как скрытый ресурс российского образования". Учительская газета.
 - Результаты учеников 2018г. по поступлению в МГУ.
 - Наполняется раздел Библиотечка для учеников.
Архив новостей



Подготовка по математике в МГУ им.М.В.Ломоносова

Математический кружок.

Математический кружок для школьников 8-10кл. Для 10-11 кл. - подготовка по математике(ЕГЭ), "Покори Воробьевы горы", к олимпиадам МГУ. Занятия индивидуальные (м.Крылатское), опыт преподавания с 1972г.
Обращаться к преподавателю.

Новому календарному дню - новые задачки(4-11 кл.):

1. Отрезок [0,1] произвольно разделили на несколько меньших отрезков и некоторые их них покрасили. Общая длина покрашенных отрезков больше 0.5 . Докажите, что на отрезке найдутся две окрашенные точки на расстоянии, равном 0,5 .

2. НАЙДИТЕ ЗНАЧЕНИЯ P , ПРИ КОТОРЫХ ОТНОШЕНИЕ КОРНЕЙ УРАВНЕНИЯ РАВНО 2.



...и несколько задач постоянных (постараюсь обновлять):

  • Четыре селения расположены в вершинах квадрата со стороной 1. Соединить эти селения сетью дорог так, чтобы суммарная длина всех дорог была наименьшей.
    Ответ. Наименьшая суммарная длина
  • Задачи от Мишани(4кл., 2018-2019)(я ему не помогаю; это он меня тестирует):

    • Винни Пух купил упаковку чая, в которой 30 пакетиков чая. Чтобы сварить один стакан чая можно использовать 1 новый пакетик чая или 2 пакетика, использованных один раз, или 3 пакетика использованных два раза, или 6 пакетиков, использованных три раза. Более четырех раз пакетик чая не используется. Какое наибольшее количество стаканов чая может выпить Винни Пух, используя новую упаковку?

    • Капитан Врунгель утверждает, что сможет разложить 120 алмазов в отсеки коробки 3x5 так, чтобы во всех лежало различное число алмазов, а в любых двух соседних (через перегородку) было вместе не более 17 алмазов. Прав ли капитан?

    • На кружке физики учитель поставил следующий эксперимент. Он разложил на чашечные весы 16 гирек массами 1, 2, 3, 16 грамм так, что одна из чашек перевесила. Пятнадцать учеников класса по очереди выходили из класса и забирали с собой одну гирьку, причем после выхода каждого ученика перевешивала противоположная чашка весов. Какая гирька осталась на весах? Ответ обосновать.

    • На восьми березах сидят восемь воробьев - по одному на каждой березе. Березы растут в ряд с интервалом в 10 м. Если какой-то воробей перелетает с одной березы на другую, то какой-то другой воробей обязательно перелетает на столько же метров, но в обратном направлении. Могут ли все воробьи собраться на одной березе?

    • На восьми березах сидят восемь воробьев — по одному на каждой березе. Березы растут по кругу с интервалом в 10 м. Если какой-то воробей перелетает с одной березы на другую, то какой-то другой воробей обязательно перелетает на столько же метров, но в обратном направлении. Могут ли все воробьи собраться на одной березе?

    • На семи березах сидят семь воробьев — по одному на каждой березе. Березы растут в ряд с интервалом в 10 м. Если какой-то воробей перелетает с одной березы на другую, то какой-то другой воробей обязательно перелетает на столько же метров, но в обратном направлении. Могут ли все воробьи собраться на одной березе?

    • Круг разделён на десять секторов, в каждом из которых стоит фишка. Разрешается за один ход сдвинуть любые две фишки в соседние с ними сектора. Можно ли с помощью таких операций собрать все фишки в одном секторе?

    • На доске написаны числа 1, 2,...,10. Разрешается взять любые три числа а, Ь и с и заменить их числами а+Ь-с, Ь+с-а, с+a-Ь. Можно ли с помощью таких операций получить на доске числа 2, 3, ..., 11?

    • На доске написаны числа от 1 до 100. Каждым ходом мы стираем два из них и записываем вместо них их сумму. Какое число останется на доске последним?

    • На доске написаны числа от 1 до 10. Каждым ходом мы стираем два из них и записываем вместо них их сумму, уменьшенную на 1. Какое число останется на доске последним?

    • На доске написано 20 единиц и 20 нулей. Мы стираем два числа, и при этом, если они равны, то вместо них пишем 0, а если различны, то 1. Какая цифра останется на доске последней?

    • На доске написано 29 единиц и 29 нулей. Мы стираем два числа, и при этом, если они равны, то вместо них пишем 0, а если различны, то 1. Какая цифра останется на доске последней?

    • На доске написаны числа от 1 до 10. Каждым ходом мы стираем два числа, назовем их X и Y, записываем вместо них число равное X*Y + X + Y. Какое число останется на доске последним?

    • Пусть а, Ь, с - три цифры, отличные от нуля. Из них составили шесть различных чисел, в каждом из которых каждая из этих цифр встречается только один раз. «Крайним» из этих шести чисел называют наибольшее или наименьшее из них. Число аЬс - не «крайнее». Укажите еще одно не «крайнее» число.
      Ответ обоснуйте.

    • В каждой вершине каркаса куба, сделанного из проволоки, сидит муравей. Муравьи собрались в одной точке на некотором ребре. Каждый из них дополз до этой точки по ребрам, используя наименьший из возможных путей. Сумма расстояний, которые проползли все муравьи, равна 240 см. Найдите длину ребра куба.

    • У числа можно любую нечетную цифру переставлять в конец (записывать ее справа от него), а любую четную цифру переставлять в начало (записывать ее слева от него). Какое
      а) наименьшее
      б) наибольшее
      число можно получить из числа 391728 такими перестановками?
      Ответ обоснуйте.

    • Пришли как-то к Великому Султану 5-ть мудрецов. И попросили рассудить — кто из них самый мудрый. Султан устроил им состязание. Он показал им 3 белых колпака и 5 черных. Потом посадил их в кружок и надел каждому из них по черному колпаку. Каждый видит остальных, но своего колпака увидеть не может. Сидят молча, думают. Кто первый поймет, какой у него колпак — тот, значит, и самый мудрый. Как один из мудрецов(Мишаня?) через некоторое время смог об этом догадаться?
      (я таки не смог, не хватило терпения...)

    • Можно ли шахматную доску с одним вырезанным углом разделить на полоски по 3 клетки?
    • Сколько способов поставить двух разноцветных королей на шахматную доску так, чтобы они не били друг друга?
    • На каждой клетке доски 3 на 3 сидит жук. В некоторый момент времени все жуки взлетают и приземляются на соседние клетки. Докажите, что при этом окажется хотя бы одна пустая клетка.
    • Сколько 6-ти значных чисел , в которых хотя бы одна цифра четная?
    • Найти самое большое натуральное число, в котором все цифры различны и которое делится на каждую свою цифру.
      Ответ: у Мишани - 9867312 (а у меня на скорую руку получилось - 9782136; тест не прошел, "эх, Семён Семёныч..."(с))

    • Миша живет в 290 квартире в 9 этажном доме. На каждом этаже этого дома 4 квартиры. В каком подъезде живет Миша?
    • Карлсон переехал и теперь живет в 131 квартире в одноподъездном небоскребе. На 7 этаже этого небоскреба расположены квартиры с 43 по 49. На каком этаже живет Карлсон?
    • В семиэтажном доме на каждой лестничной площадке 5 квартир. Какой номер имеет первая квартира на 4 этаже в 7 подъезде этого дома?
    • Маша живет в последней квартире на площадке 4 этаже 3 подъезда. При этом в первых двух подъездах 96 квартир, а на каждом этаже в одном подъезде 6 квартир. В какой квартире живет Маша?
    • В 16 этажном доме первый этаж отдан под магазины. На некотором этаже в этом доме расположены квартиры с 61 по 64. Родители Гриши живут в 321 квартире в этом доме. На каком этаже и в каком подъезде живут родители Гриши?
    • На каждой лестничной площадке в доме Мишани расположено 2 квартиры. Всего в доме 70 квартир. Сколько подъездов и сколько этажей может быть в доме? Приведите все возможные варианты.
    • Малыш живет в 4 подъезде в 34 квартире, а его друг Кристер – в 29 квартире в 3 подъезде. Фрекен Бок переехала в квартиру 89. В каком подъезде теперь живет Фрекен Бок?
    • В доме 170 квартир. На каждом этаже 5 квартир. Миша живет выше Яны, но ниже Гриши в этом доме, при этом Гриша и Миша живут в разных подъездах. Сколько в этом доме этажей?
    • Света и Ксюша живут в одном доме, на каждой лестничной клетке которого 4 квартиры. Света живет на десятом этаже в квартире 84. Ксюша живет в квартире 100. На каком этаже живет Ксюша?
    • Коля и Вася живут в одном доме, на каждой лестничной клетке этого дома расположено 4 квартиры. Коля живет на 5 этаже в квартире 62, а Вася – на четвертом этаже в квартире 174. Сколько этажей в этом доме?

    • new!
      и немного посложнее:
    • Найдите наименьшее нечетное натуральное число, сумма цифр которого равна 2003.
    • Можно ли 8 различных натуральных чисел от 1 до 8 разбить на 4 пары так, чтобы сумма чисел любой пары делила нацело сумму всех чисел, не входящих в данную пару?
    • На одной из чашек весов лежит груз массой 17 грамм. Вася последовательно кладет на любую из двух чашек весов по одной гирьке. Масса первой гирьки равна 1 грамму, а каждая следующая гирька на 1 грамм тяжелее предыдущей. Какое наименьшее число гирь должен положить Вася для того чтобы уравновесить весы.
    • Квадратный стол разделен на 4 квадратных клетки. В одной из клеток сидит таракан. В каждой клетке нарисована стрелка, которая показывает, куда должен ползти таракан. Все стрелки параллельны сторонам квадрата. Таракан начинает двигаться в направлении, которое указано в клетке, в которой он находится. Когда он покидает клетку, направление в ней меняется на 90⁰. Какое наибольшее число переползаний из клетки в клетку может сделать таракан, не покидая стола?
    • Какова первая цифра в десятичной записи произведения 100-значных чисел 333…33 и 33…34 (в первом множителе 100 цифр 3, а во втором 99 цифр 3 и одна цифра 4)?
    • Петя может в числе 2047689 переставлять местами две любые цифры различной четности. Какое наибольшее число он может получить таким образом?
    • Может ли у натурального числа быть ровно 5 четных делителей и 6 нечетных?
    • Вася выписал в ряд несколько различных натуральных чисел в порядке возрастания. Оказалось, что их сумма равна 2004. Сможет ли разность между последним и первым из них быть равной трем?
    • В ряд стоят 10 гномов. Каждую минуту гном, у которого есть орехи и сосед справа имеет больше орехов, передает этому соседу один орех. Через какое время передача орехов прекратится, если первоначальное распределение орехов следующее: 1, 3, 5, 7, 9, 2, 4, 6, 8, 10?
    • Два ученика одновременно стартуют с одного места и бегут в одну сторону с постоянными скоростями по круговому треку. Первый – ученик 7 класса, и должен пробежать 7 кругов. Второй – ученик 11 класса, и должен пробежать 11 кругов. Ученик 7 класса держит на старте эстафетную палочку, которую им нужно будет передавать друг другу при каждой встрече. Сколько кругов сделала эстафетная палочка, если оба ученика завершили бег одновременно на месте старта.
    • В клубе мудрецов записано 12 человек, из которых 4 глупца. Мудрецы всегда говорят правду, а глупцы могут говорить правду или ложь. Когда они все сели по кругу, каждый про своего соседа справа сказал, что он глупец или мудрец. Высказывания каждого обозначены буквами: «Г» – если он сказал «глупец», и «М» - если он сказал «мудрец». Вот список их высказываний: М-М-Г- М-М-Г- М-М-Г- М-М-Г. Про кого можно точно сказать, что он мудрец?
    • Число 2а состоит из 333 двоек и 334 единиц. Найти сумму цифр числа а.
    • Двадцать карточек, на которых написаны натуральные числа от 1 до 20, выложены в порядке возрастания. За одну операцию можно поменять местами две соседние карточки, если у них нет общей цифры. Какое наименьшее количество карточек может оказаться слева от карточки с числом 20 после нескольких таких операций?
    • Раскрасьте на доске размера 6 на 6 несколько клеточек так, чтобы любой квадратик 2 на 2 закрывал нечетное количество раскрашенных клеток.
    • У Пети есть 4 щуки, 3 рака и 3 лебедя. Он хочет расставить всех этих существ по кругу, так чтобы среди любых трех подряд идущих существ не было трех одинаковых и не было трех разных. Как это сделать?
    • Генерал дал задание инженеру: на территории форта нужно построить 6 одинаковых оборонительных башен, так чтобы из каждой башни были видны ровно 4 другие башни (если 3 башни стоят на одной прямой, то крайние башни друг друга не видят). Покажите, как инженер смог справиться с задачей.
    • Мама испекла торт шестиугольной формы. Сын заметил, что одним прямым разрезом можно разрезать этот торт на 4 части. Покажите, как такое могло произойти.
    • Гостиная Барона Мюнхаузена представляет собой клетчатый квадрат 6 на 6. Барон утверждает, что его ковер является целым куском ткани и закрывает ровно 24 клетки. При этом в каждом вертикальной и каждой горизонтальном ряду покрыто ровно 4 клетки. Не обманывает ли Барон?
  • Из демоварианта для поступающих в 2019г. в 8-е классы гимназии МГУ:
    Каково минимальное число гирь, необходимых для того, чтобы взвесить любой груз массой от 2 до 40гр. на рычажных(чашечных) весах, если известно, что этот груз может весить только целое число граммов. Гири разрешается класть на обе чаши весов (ранее взвешенные грузы не используются - ред.).
    Ответ. 4 гири: 1гр., 3гр., 9гр., 27гр.


  • Найти площадь заштрихованной части.


    (источник )


  • Даны квадрат и окружность, касающаяся стороны квадрата. Найти площадь квадрата.(6-8кл.)


    (источник )


  • Найти площадь четырехугольника.(6-8кл.)

    (источник )


  • Дан треугольник, из его двух вершин проведены линии, которые делят треугольник на три треугольника с площадями 3,4 и 2. Найти площадь четырехугольника сверху.(6-8кл.)


    (источник )


  • Найти площадь маленького треугольника в левом верхнем углу параллелограмма ABCD.

    (5-классник в Китае решил эту задачу за 1 минуту)

    (источник )


  • Прямой круговой конус пересечен плоскостью по замкнутой кривой. Вписанные в конус шары касаются плоскости сечения в точках А для одного и В для другого шара. Найти на линии сечения точку С так, чтобы сумма расстояний СА + СВ была а) наибольшей, б) наименьшей.
    (В.И.АРНОЛЬД. Задачи для детей от 5 до 15 лет.)


  • Найти площадь треугольника с углами (A, B, C) на сфере радиуса 1, стороны которого — окружности больших кругов (сечения сферы плоскостями, проходящими через ее центр).
    (В.И.АРНОЛЬД. Задачи для детей от 5 до 15 лет.)

  • (из набора задач для подготовки к ДВИ, задачу предложил А.М.Мажуга) Решить относительно x в вещественных числах уравнение:



    Ответ.


  • (9-11кл.) В клубе собралась группа из 11 путешественников. Когда зашёл разговор о некоторой стране, оказалось, что в совокупности любые 6 путешественников побывали во всех городах этой страны (т.е. каждый город посетил хотя бы один из этих 6 путешественников), но не существует 5 путешественников, которые в совокупности посетили все города. Чему равно наименьшее число городов, которое может быть в этой стране?
    Ответ. 462


  • (из набора задач для подготовки к ДВИ) Решить уравнения:


    Ответ:



    Ответ:

  • (8-11кл.)Первые 1024 точек являются вершинами выпуклого многоугольника. Ещё 512 точек находится внутри многоугольника, при этом, никакие три из 1536 точек не лежат на одной прямой. Многоугольник разрезан на треугольники таким образом, что каждая из 1536 точек является вершиной какого-нибудь треугольника, и никаких иных вершин у треугольников нет. Определите, сколько всего получилось треугольников.
    Ответ. 2046


  • (9-11кл.) Чему равно количество 64-х значных чисел, записываемых при помощи 56-ти нулей и 8-ми единиц, в записи которых не встречаются две подряд идущей цифры 1 ?
    Ответ. 231917400


  • (10-11кл.)Математическая блоха скачет по плоскости в декартовой системе координат, при этом за один прыжок она увеличивает свою абсциссу или ординату на единицу. Чему равна вероятность того, что ее путь будет проходить через точку с координатами (7;11), если изначально она находилась в начале координат. Ответ умножьте на 10000 и отбросьте дробную часть.
    Ответ. 1213


  • Найти углы треугольника (чертеж дан без масштаба)

    Dr. Gary R.Gruber


  • Найти минимум величины

    где a,b - заданные стороны треугольника, а r - радиус его вписанной окружности по всем треугольникам.

    Ответ:



  • (9-11кл.) Для действительных чисел m и n определим следующую операцию:


    Найдите значение выражения

    Ответ: 1/3


  • На плоскости дан круг пересеченный тремя группами параллельных прямых. В первой группе 10, во второй и третьей 11 и 12 прямых, соответственно. На какое наибольшее число эти прямые могут разбить круг?
    Ответ: 396

  • докажите в общем виде:


  • Решить в целых числах:





  • Жестянщик производит таблички с буквами. Одинаковые буквы он делает за одинаковое время, а разные – возможно, за разное. На две таблички «ДОМ МОДЫ» и «ВХОД» он потратил 50 минут, а на одну табличку «ДЫМОХОД В» он сделал за 35 минут. За какое время он сделает табличку «ВЫХОД»? (3-4кл., МИРЭА, 2013г.)

  • Расставьте по кругу натуральные числа от 1 до 8 так, чтобы любое число делилось на разность соседних с ним чисел. (7-10кл.)

  • В суточном забеге одновременно стартовали Петя и Вася и побежали с постоянными скоростями по круглому стадиону. Вначале Петя бежал быстрее и через час догнал Васю (перегнал на круг). Тогда Вася ускорился на 2 км/ч и через 2 часа сам догнал Петю. После этого тот сразу ускорился ещё на 1 км в час и стал бежать быстрее Васи. Когда Петя теперь догонит Васю? (7-11кл.)
    Ответ. через 4 часа.

  • Бассейн заполняется из двух труб: одна с пресной водой, другая – с морской. Если открыть кран с пресной водой, то бассейн заполнится за 210 минут . Если открыть оба крана – за 140 минут. Заполняя пустой бассейн, открыли сначала морскую воду, а через некоторое время – ещё и пресную. Когда бассейн заполнился, солёность воды в нём стала 17%. Сколько минут прошло между открытием первого и второго кранов, если солёность морской воды 35%?
    Ответ. 96мин.

  • Существует ли степень двойки, из которой перестановкой цифр можно получить другую степень двойки?
    Ответ. Нет, не существует.

  • Найти наименьшее число, которое начинается с 2013 и делится на все числа от 1 до 9 ( 6кл.)

  • Спешу поделиться одной жемчужинкой(прислали коллеги):

    Медианы треугольника делят его на 6 треугольников. Опишем около каждого окружность; получится 6 окружностей (на рисунке изображены пунктиром). Тогда их центры лежат на одной окружности (на рисунке красная)!

    (хотелось бы знать автора этого искусства)

  • Решить уравнение (10кл.):


    Ответ.

  • Найти все целые числа n, для которых сумма является полным квадратом:



  • Найти уравнение, все корни которого обратны корням уравнения:



  • Доказать неравенство (для положительных чисел):


  • Доказать, что


  • Найдется ли такое целое n, что первые девять знаков после запятой в записи числа будут 987654321 ?

  • Решите в натуральных числах


  • Доказать, что


  • Найдите наименьшее значение выражения


    При каких x, y оно достигается? (можно устно )

  • Пусть ; , и .

    Тогда выполняются неравенства
    1. Неравенство Коши между арифметическим средним и геометрическим средним:

      Равенство достигается при



    2. Равенство достигается при

      (неравенства верны, есно, и для n переменных)

  • Дан отрезок AB. Найдите множество таких точек C плоскости, что медиана треугольника ABC, проведённая из вершины A, равна высоте, проведённой из вершины B:

  • Найти все числа, равные сумме факториалов своих цифр:


    Ответ: 40585, 145, 2, 1 (решение Шкляева Александра Викторовича).

  • Продолжить закономерность: 1001, 2002, 3003, 3432, ... Ответ: 3003, 2002,...

  • В чемпионате мира среди профессионалов по крестикам-ноликам на бесконечной клетчатой доске участвовало 10 игроков. Проигравший партию, выбывал из турнира. Какое максимальное число участников могло выиграть по две партии? - для младших школьников; (в крестиках-ноликах на бесконечной доске выигрывает тот, кто поставит пять своих значков подряд по одной линии - вертикали, горизонтали или диагонали; ничьих не бывает)
    поиграть можно здесь (игра 5-ть шаров).

  • У одного человека было 12 монет, неотличимых по внешнему виду. Одна монета была фальшивая и отличалась по весу от настоящей. У человека были также очень чувствительные равноплечные весы, но без гирь. Может ли он при помощи не более трех взвешиваний обнаружить фальшивую монету и определить, тяжелее она или легче, чем настоящая? (Donald Eves)
    Ответ. да, может - три взвешивания.

  • Известный математик Лео Мозер предложил следующую задачу: как начертить на плоскости двухцветную карту, обладающую таким свойством, что, как бы вы ни накладывали на нее равносторонний треугольник со стороной 1, все три его вершины не будут лежать на точках одного цвета?

  • Сковородка вмещает 6 ломтиков хлеба. Для поджаривания одной стороны каждого ломтика необходимо 30 сек. За какое наименьшее время можно на этой сковороде поджарить :
    а) 9 ломтиков;
    б) 15 ломтиков;
    в) 33 ломтика?
    Ответ. а) 1 мин 30 сек; б) 2 мин 30 сек; в) 5 мин 30 сек.

  • В единичный квадрат бросили 51 точку. Доказать, что некоторые три из них обязательно лежат внутри круга радиуса 1/7.

  • Несколько дуг окружности окрашены в чёрный цвет. Сумма длин окрашенных дуг меньше половины длины окружности. Докажите , что существует диаметр, оба конца которого не окрашены.

  • Провести через данную точку прямую, высекающую на двух данных равных окружностях хорды равной длины.

  • Чему равно наибольшее число стальных шариков диаметром 1 см, которые могут уместиться в квадратной коробке размером 10 х 10 х 5 см?
    Ответ. 594 шарика.

  • Четверо отправились на экскурсию. Трое из них захватили с собою еду: первый — 4, второй — 3, третий — 1 бутерброд. Бутерброды разделили между всеми поровну. Четвертый должен был возместить 1руб.20коп., и он дал первому 60 копеек, второму — 45, третьему — 15 копеек. Но первый стал возражать. Прав ли он?

  • На вертикальной стене висит плакат АВ ( А - верхняя горизонталь, В - нижняя). На каком расстоянии от стены должен стать наблюдатель, чтобы угол, под которым он видит плакат, оказался наибольшим? (уровень глаз или выше А, или ниже В)

  • Четыре жука — А, В, С, D — сидят по углам квадрата со стороной 10 см. Жуки А и С — самцы, В и D — самки. Они начинают одновременно ползти: A к В, В к С, С к D и D к А. Если все жуки ползут с одинаковой скоростью, то они опишут четыре одинаковые логарифмические спирали, которые пересекаются в центре квадрата. Какое расстояние проползет до встречи каждый жук?

  • Обычно в метро я поднимаюсь вверх по эскалатору. Я подсчитал, что, идя по лестнице идущего вверх эскалатора, я поднимаюсь сам на 20 ступенек, и весь подъем занимает у меня точно 60 с. Моя жена идет по лестнице медленнее и поднимается всего на 16 ступенек; поэтому все время, затрачиваемое ею на подъем по эскалатору, оказывается больше — оно составляет 72 с. На сколько ступенек мне придется подняться, если эскалатор вдруг сломается?

  • Разделить правильный пятиугольник на две равновеликие части прямой, параллельной одной из его сторон.

  • Семья ночью подошла к мосту. Папа может перейти его за 1 минуту, мама — за 2, малыш — за 5, а бабушка — за 10 минут. У них есть один фонарик. Мост выдерживает только двоих. Как им перейти мост за 17 минут? Если переходят двое, то они идут с меньшей из их скоростей. Двигаться по мосту без фонарика нельзя.(есть 2-а варианта решения).*

  • На бесконечный белый лист уронили каплю чернил, которая превратилось во множество разбросанных пятен неправильной формы с общей площадью <1. Как покрыть этот лист бумаги квадратной сеткой с шагом 1, чтобы ни один узел сетки не попал в чернильное пятно?

  • На дне озера бьют ключи. Стадо из 183 слонов могло бы выпить озеро за один день, а стадо из 37 слонов - за 5 дней. За сколько дней выпьет озеро один слон?
    Ответ. за 365 дней.

  • На трех лугах площадью 4/3, 10 и 24 га трава растет одинаково, т. е. с одинаковой густотой и с одним и тем же приростом. После того как на первом лугу 12 коров паслись 4 недели, а на втором лугу 21 корова паслась 9 недель, трава оказалась съеденной настолько, что оба пастбища на время пришлось забросить. Сколько коров можно пасти на третьем лугу в течение 18 недель?
    Ответ. 36 коров.

Ну, а посложнее, можно посмотреть задачи предлагавшиеся на Олимпиадах.

* задачку принес мой абитуриент (решал ее на олимпиаде в одном из московских вузов). Ранее задачка предлагалась соискателям работы в Microsoft.





4.12.2011    © репетитор-мгу.рф   Все права защищены.