Условия и иллюстрация(в виде анимации) задач на параметры - ЕГЭ, ДВИ.

      На занятиях рассматриваются задачи с ЕГЭ, ДВИ и письменных экзаменов по математике в МГУ; используются пособия:

• Амелькин В.В., Рабцевич В.Л. Задачи с параметрами: Справ. пособие по математике.Мн.: ООО «Асар», 2004. — 464 с.
• Голубев В.И. Решение сложных и нестандартных задач по математике. — 2007. — 252 с:
• Высоцкий В. С. Задачи с параметрами при подготовке к ЕГЭ. М.: Научный мир, 2011. - 316 с
• Горнштейн П.И., Полонский В. В., Якир М. С. Задачи с параметрами Изд. 3-е, перераб., доп. Серия: Кладовая школьной математики, 2005, 328 стр.
• Дорофеев Г.В. Квадратный трехчлен в задачах. - Львов, журнал Квантор, 1991, № 2. - 104 с.
• Ефимов Е.А., Коломиец Л.В. Задачи с параметрами. Учебное пособие для факультета довузовской подготовки СГАУ. - Самара, 2006. - 64с.
• Иванов С.О. Математика. Учимся решать задачи с параметром. Подготовка к ЕГЭ: задание С5 / С. О. Иванов, Е. А. Войта, А. С. Ковалевская, Л. С. Ольховая; под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова. — Ростов-на-Дону: Легион-М, 2011. — 48с.
• Козко А.И., Чирский В.Г. Задачи с параметром и другие сложные задачи. - М., МЦНМО, 2007. - 296с.
• Козко А.И., Панферов В. С, Сергеев И. Н., Чирский В. Г. ЕГЭ 2011. Математика. Задача С5. Задачи с параметром / Под ред. А. Л. Семенова и И. В.Ященко. — М.: МЦНМО, 2011.-144 с.
• Корянов А.Г. Математика ЕГЭ 2010. Задания С5. - 71 с.
• Крамор В.С.Задачи с параметрами и методы их решения / В. С. Крамор. — М.: ООО «Издательство Оникс»: ООО «Издательство «Мир и Образование», 2007. — 416 с
• Мирошин В.В. Решение задач с параметрами. Теория и практика. - М., Экзамен, 2009. - 286 с.
• Моденов В.П. Задачи с параметрами. Координатно-параметрический метод: учебное пособие / В.П. Моденов. — М.: Издательство «Экзамен», 2007. — 285, [3] с
• Натяганов В.Л., Лужина Л.М. Методы решения задач с параметрами: Учеб. пособие. М.: Изд-во МГУ, 2003. - 368 с.
• Прокофьев А.А. Задачи с параметрами: пособие по математике для учащихся старших классов – М.: МИЭТ, 2004. – 258 стр.
• Родионов Е.М. Справочник по математике для поступающих в вузы. Решение задач с параметрами. - М.: МЦ "Аспект", 1992. - 144с.
• Севрюков П.Ф. Школа решения задач с параметрами : учебно-методическое пособие / П. Ф. Севрюков, А. Н. Смоляков. — Изд. 2-е, испр. и доп. — Народное образование ; Ставрополь : Сервисшкола, 2009. - 212 с
• Субханкулова С.А. Задачи с параметрами.— 2010.— 208 с.
• Г.А. Тиняков, И.Г. Тиняков. Задачи с параметрами. 3-изд. перераб. доп. - М, 1996. - 98 с.
• Ястребинецкий Г.А. Уравнения и неравенства, содержащие параметры. Пособие для учителей. М., «Просвещение», 1972.- 128 с.
• Локоть В.В. Задачи с параметрами и их решение: Тригонометрия: уравнения, неравенства, системы. 10 класс. — 3-изд., испр. и доп. - М.:АРКТИ, 2008. - 64с.
• Локоть В.В. Задачи с параметрами. Применение свойств функций, преобразование неравенств. — М.: АРКТИ, 2010. — 64 с.
• Локоть В.В. Задачи с параметрами. Иррациональные уравнения, неравенства, системы, задачи с модулем. — М.: АРКТИ, 2010. — 64 с.
• Локоть В.В. Задачи с параметрами. Линейные и квадратные уравнения, неравенства, системы Учебное пособие. - 2-е изд., испр. и доп. - М.: АРКТИ, 2005. - 96 с.
• Локоть В.В. Задачи с параметрами. Показательные и логарифмические уравнения, неравенства, системы. М.: АРКТИ,2004. — 96 с.

      Курс содержит до 300-т задач различной сложности(на сайте приведена часть задач - будет пополняться).
      Все задачи решаются аналитически, разбор на занятиях.
      Графики приведены только для иллюстрации (решением не являются).

      Подготовительный, вводный уровень:

1. Найти все значения параметра а, при каждом из которых уравнение имеет ровно один корень:
   
   
   
   
   
2. Найти все значения параметра а, при каждом из которых неравенство выполняется для любого x:
   
   
   
   
   
3. При каких значениях параметра а сумма квадратов корней уравнения
   
   
   
   
   является наибольшей? Чему равна эта сумма?
   
   
4. При каких значениях параметра а корни уравнения
   
   
   
   
   удовлетворяют условиям
   
   
5. При каких значениях параметра а один из корней уравнения
   
   
   
   
   по абсолютной величине больше 1, а другой по абсолютной величине меньше 1 ?
   
   
6. При каких значениях параметра а корни уравнения
   
   
   
   
   принадлежат отрезку [0; 1] ?
   
   
7. При каких значениях параметра а уравнение
   
   
   
   
   имеет хотя бы один положительный корень?
   
   
8. При каких значениях параметра а корни многочлена
   
   
   
   
   удовлетворяют неравенствам ?
   
   
9. Расположить в порядке возрастания числа 1; 4 и корни уравнения
   
   
   
   
   
   
10. Найти все значения параметра а, при которых уравнения
    
    
    
    
         
    
    
    имеют хотя бы один общий корень.
    
    
11. При каких значениях параметра а из неравенства
    
    
    
    
    следует неравенство
    
    
    
    
    
    
12. При каких значениях параметра а каждое решение неравенства
    
    
    
    
    будет содержаться среди решений неравенства
    
    
    
    
    
    
13. Найти все значения параметра а, при каждом из которых уравнение имеет ровно восемь различных решений:
    
    
    
    
    
14. Решить уравнение в зависимости от значений параметра а
    
    
    
    
    
    
15. Решить уравнение в зависимости от значений параметра а
    
    
    
    
    
    
16. В зависимости от значений параметра а определить количество решений уравнения
    
    
    
    
    
    
17. Решить уравнение в зависимости от значений параметра а
    
    
    
    
    
    
18. Решить уравнение в зависимости от значений параметра а
    
    
    
    
    
    
19. При каких значениях параметра а уравнение
    
    
    
    
    имеет четыре корня?
    
    
20. При каких значениях параметра а неравенство
    
    
    
    
    не имеет решений, больших 1  ?
    
    
21. Для всех значений параметра а решить неравенство
    
    
    
    
    
    
22. При каких значениях параметра а множество решений неравенства
    
    
    
    
    не содержит ни одного решения неравенства
    
    
23. Решить неравенство в зависимости от значений параметра а
    
    
    
    
    
    
24. В зависимости от значений параметра а найти наименьший корень уравнения
    
    
    
    
    
    
25. При каких значениях параметра а три корня уравнения
    
    
    
    
    составляют арифметическую прогрессию  ?
    
    
26. В зависимости от значений параметра а решить уравнение
    
    
    
    
    
    
27. В зависимости от значений параметра а решить уравнение
    
    
    
    
    
    
28. При каких значениях параметра а все решения уравнения
    
    
    
    
    принадлежат отрезку [-3;0]  ?
    
    
29. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых уравнение имеет решение:
    
    
    
    
    
    Ответ.      (график)
    
    
30. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых уравнение имеет решение:
    
    
    
    
    
    Ответ.      (график)
    
    
31. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых уравнение имеет решение:
    
    
    
    
    
    Ответ.      (график)
    
    
32. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых уравнение имеет решение:
    
    
    
    
    
    Ответ.      (график)
    
    
33. Найти значение параметра а, при которых уравнение имеет решение:
    
    
    
    
    Ответ.      (график)
    
    
34. Найти все значения параметра а, при каждом из которых уравнение имеет два корня:
    
    
    
    
    Ответ.      (график)
    
    
35. Найдите значения параметра а, при которых система уравнений имеет единственное решение:
    
    
    
    
    Ответ.      (график)
    
    

Средний уровень:

36. Решить уравнение:
    
    
    
    
    
    Ответ.      (график)
    
    
37. Решить уравнение:
    
    
    
    
    
    Ответ. при a<-9 решений нет;
         (график)
    
    
38. Найти наименьшее a, при котором существует решение уравнения:
    
    
    
    
    
    Ответ.
    
    
39. Найти наибольшее a, при котором существует решение уравнения:
    
    
    
    
    
    Ответ.
    
    
40. Найти a, при которых уравнение имеет ровно пять корней, образующих арифметическую прогрессию:
    
    
    
    
    
    Ответ.
    
    
41. Найти a, при которых уравнение имеет ровно четыре корня, образующих арифметическую прогрессию:
    
    
    
    
    
    Ответ.
    
    
42. Найти a, при которых уравнение имеет по крайней мере два корня, один из которых неотрицателен, а другой не больше -1. :
    
    
    
    
    
    Ответ.
    
    
43. Найти a, при которых уравнение имеет по крайней мере два корня, один из которых неположителен, а другой не меньше 1. :
    
    
    
    
    
    Ответ.
    
    
44. Найти a, при которых уравнение имеет не менее четырех целых корней :
    
    
    
    
    
    Ответ.
    
    
45. Найдите значения параметра а, при которых система уравнений имеет единственное решение:
    
    
    
    
    Ответ.      (график)
    
    
46. Найдите значения параметра а, при которых система уравнений имеет единственное решение:
    
    
    
    
    Ответ.      (график)
    
    
47. Найдите значения параметра а, при которых система уравнений имеет решение:
    
    
    
    
    Ответ.      (график)
    
    
48. Найдите значения параметра а, при которых система уравнений имеет решение:
    
    
    
    
    Ответ.      (график)
    
    
49. Найдите значения параметра а, при которых система уравнений имеет единственное решение:
    
    
    
    
    Ответ.      (график)
    
    
50. Найти все значения параметра а, при которых система неравенств имеет решение:
    
    
    
    
    Ответ.      (график)
    
    
51. Найдите наименьшее значение параметра а, при котором система неравенств имеет единственное решение:
    
    
    
    
    Ответ.      (график)
    
    
52. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых функция
    
    
    
    
    
    имеет более двух точек экстремума.
    
    Ответ.      (график)
    
    
53. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых функция
    
    
    
    
    
    имеет хотя бы одну точку максимума.
    
    Ответ.      (график)
    
    
54. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых система неравенств имеет единственное решение:
    
    
    
    
    
    Ответ.      (график)
    
    
55. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых система неравенств имеет хотя бы одно решение:
    
    
    
    
    
    Ответ.      (график)
    
    
56. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых система неравенств не имеет решений:
    
    
    
    
    
    Ответ.      (график)
    
    
57. С5 варианта 5 от 18.12.2012, Запад, без производной:
    Найдите все значения параметра а, при каждом из которых на интервале (1;2) существует хотя бы одно число x,
    не удовлетворяющее неравенству:
    
    
    
    
    
    Ответ.      (график)
    
    
58. С5 варианта 6 от 18.12.2012, Запад, без производной:
    Найдите все значения параметра а, при каждом из которых на отрезке [1;2] существует хотя бы одно число x,
    удовлетворяющее неравенству:
    
    
    
    
    
    Ответ.      (график)
    
    
59. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых уравнение имеет единственное решение:
    
    
    
    
    
    Ответ.      (график)
    
    
60. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых уравнение имеет не менее 2-х решений:
    
    
    
    
    
    Ответ.      (график)
    
    
61. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых уравнение имеет более 3-х решений:
    
    
    
    
    
    Ответ.      (график)
    
    
62. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых уравнение имеет ровно 2-а корня:
    
    
    
    
    
    Ответ.      (график)
    
    
63. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых система неравенств имеет единственное решение:
    
    
    
    
    
    Ответ.      (график)
    
    
64. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых система неравенств не имеет решения:
    
    
    
    
    
    Ответ.
    
    
65. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых уравнение имеет ровно 3-и корня:
    
    
    
    
    
    Ответ.      (график)
    
    
66. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых уравнение имеет ровно 2-а корня на отрезке [-1;2]:
    
    
    
    
    
    Ответ.      (график)
    
    
67. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых система уравнений имеет единственное решение:
    
    
    
    
    
    Ответ.      (график)
    
    
68. Найдите значения параметра a, при котором неравенство не имеет корней на отрезке [-1; 2] :
    
    
    
    
    
    Ответ.      (график)
    
    
69. Найдите значения параметра a, при котором уравнение имеет ровно три корня:
    
    
    
    
    
    Ответ.      (график)
    
    
70. При каких значениях параметра a система имеет единственное решение:
    
    
    
    
    
    Ответ.      (график)
    
    



71. При каких значениях параметра a неравенство имеет единственное решение:
    
    
    
    
    
    Ответ.      (график)
    
    



72. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых система уравнений имеет единственное решение:
    
    
    
    
    
    Ответ.      (график)
    
    
73. Найти все значения а, такие, что для любого x выполняется неравенство:
    
    
    
    
    
    Ответ.
    
    
74. Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение имеет более одного корня:
    
    
    
    
    
    Ответ.
    
    
75. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых уравнение имеет решение:
    
    
    
    
    
    Ответ.
    
    
76. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых уравнение имеет решение:
    
    
    
    
    
    Ответ.
    
    
77. Найдите все значения а, для каждого из которых уравнение имеет более трёх различных решений:
    
    
    
    
    
    Ответ.
    
    
78. Найдите все значения а, при каждом из которых наименьшее значение функции
    
    
    
    
    больше 1.
    Ответ.




Найдите все значения параметра а, при каждом из которых уравнение имеет хотя бы один корень:



79. 
    
    
    Ответ.
    
    
80. 
    
    
    Ответ.
    
    
81. 
    
    
    Ответ.
    
    
82. 
    
    
    Ответ.
    
    
83. При каких значениях параметра а уравнение имеет ровно 3-и решения?
    
    
    
    
    
    
84. При каких значениях параметра а уравнение имеет ровно 2-а решения?
    
    
    
    
    
85. При каких значениях параметра а система имеет ровно 5-ть натуральных решений?
    
    
    
    Ответ.
    
    
86. Найти все значения параметра а при которых неравенство справедливо для всех действительных х.
    
    
    
    
    
    
87. Найти все значения параметра а при которых существует решение уравнения
    
    
    
    
    
    Ответ.
    
    
88. Найти все значения параметра а при которых существует решение уравнения
    
    
    
    
    
    Ответ.
    
    
89. Решить уравнение в зависимости от значений параметра а
    
    
    
    
    
    
90. Найдите наибольшее значение параметра а, при котором на отрезке [-1; 2] неравенство не имеет корней.
    
    
    
    
    
    
91. Найти все значения параметра а, при каждом из которых уравнение имеет ровно 3 решения.
    
    
    
    
    
    
92. Факультет почвоведения МГУ, 1988г.
    Найти все значения параметра р, при каждом из которых существует единственная пара чисел (х, у), удовлетворяющая условиям:
    
    
    
    
    
    Ответ.
    
    
93. Геологический факультет МГУ, 1986г.
    При всех значениях параметра р < 9 найти решение уравнения на отрезке .
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
94. Для каждого значения параметра a найти все решения системы уравнений
    
    
    
    
    
    Ответ.
    
    
    
    
    
95. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых для любой пары действительных чисел (x;y) выполнено неравенство
    
    
    
    
    
    Ответ.
    
    
    
96. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых уравнение относительно величины х имеет ровно 3 решения:
    
    
    
    
    
    Ответ.
    
    
    
    
97. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых уравнение относительно величины х имеет единственное решение:
    
    
    
    
    
    Ответ.
    
    
    
    
98. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых уравнение имеет решение относительно х:
    
    
    
    
    
    Ответ.
    
    
    
99. При каких значениях параметра а существует решение уравнения:
    
    
    
    
    
    Ответ.
    
    
    
100. При каких значениях параметра а уравнение имеет ровно одно решение на промежутке [-4;2) :
     
     
     
     
     
     Ответ.
     
     
     

Сложный уровень:

- авторские задачи и авторские задачи коллег из МГУ(ВМК, мехмат) предлагаются на занятиях.

например, вот, интересная задачка:

Найти все значения а, при каждом из которых неравенство имеет хотя бы три целочисленных решения:



Ответ.